% typeset by LaTeX

\documentclass[12pt,a4]{jarticle}
%\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
 %\textwidth21cm
\begin{document}

\def\ve#1{
\text{{\fontfamily{cmr}\fontseries{bx}\fontshape{it}\selectfont #1}}
}

\def\C{\Bbb{C}}
\def\F{\Bbb{F}}
\def\R{\Bbb{R}}
\def\Q{\Bbb{Q}}


{\large �����ȊwIV���K��� 2 �@2001�N5��18��}�@�S���@���n����


\bigskip

�ȉ� $L$ �͑� $\F$ ��̗L�������x�N�g����ԁA
$T:L\to L$ ����`�ϊ��A$M_n(\F)$ �� $\F$ �̌��𐬕��Ƃ��� $n$ �������s��S�̂̂Ȃ���ԂƂ���B

\bigskip

\noindent
{\bf [14]}
$T$ �������ł���� $T^{-1}=f(T)$ ���݂��� $f\in\F[x]$ �����݂��邱�Ƃ������B
\bigskip


\noindent
{\bf [15]} ���̏����𖞂��� $n$ ��S�ċ��߂�F�u$A\in M_2(\F)$ �� $A^{n-1}\ne O$, $A^n=O$ �𖞂������̂����݂���v
\bigskip


\noindent
{\bf [16]}
$\lambda$ �� $T$ �̌ŗL�l�Ƃ���Ƃ� $f\in\F[x]$ �ɑ΂��� $f(\lambda)$ �� $f(T)$ �̌ŗL�l�ł��邱�Ƃ������B 
\bigskip

\noindent
{\bf [17]} $f_1,f_2\in\F[x]$ ���݂��ɑf�ł���A$f_1(T)f_2(T)=O$ �����藧�Ƃ�
$L=\ker f_1(T)\oplus\ker f_2(T)$ �ł��邱�Ƃ������B
\bigskip


\noindent
{\bf [18]} $f\in\F[x]$ �ɑ΂��� $\ker f(T)$ �� $T$ �̕s�ϕ�����Ԃł��邱�Ƃ������B
\bigskip


\noindent
{\bf [19]} $P, Q\in\mbox{End}(L)$ �� 
(i) $P+Q=I$, 
(ii) $P=P^2$, $Q=Q^2$,
(iii) $PQ=QP_1=O$�A�𖞂�����
$L=\mbox{image} P\oplus\mbox{image}Q=\ker P\oplus\ker Q$ �����藧���Ƃ������B
\bigskip

\noindent
{\bf [20]}
$T^2=T$ �ł���� $L=\ker T\oplus \mbox{image} T$ �� $\mbox{rank}T=\mbox{tr} T$ �ł��邱�Ƃ������B
\bigskip

\noindent
{\bf [21]}
$T^2=I$ �ł���� $L=\ker (T-I)\oplus \ker (T+I)$ �ł��邱�Ƃ������B
\bigskip

\noindent
{\bf [22]}
$\F=\R$ �Ƃ���B $T$ �̒��a���� $T=T_1\oplus T_2$ �Ŏ��̏����𖞂������̂���ӓI�ɑ��݂��邱�Ƃ������F
 $T_1$ �̓������͎����A$T_2$ �̓������͎����łȂ��B
\bigskip

\noindent
{\bf [23]}
$T$ �� $T^2=-I$ �𖞂����Ƃ� $T$ �̓����������ƍŏ������������߂�B
\bigskip


\noindent
{\bf [24]}
$\lambda\in\F$ �ɑ΂��Ĉ�ʌŗL���
$M(\lambda)$ �� $T$ �̕s�ϕ�����Ԃł��邱�Ƃ������B$\lambda\ne\mu$ �ł����
$M(\lambda)\cap M(\mu)=\{0\}$ �ł��邱�Ƃ������B
\bigskip


\noindent
{\bf [25]}
$A=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
0 & 1
\end{array}\right)$ �ŗ^��������`�ϊ� $\F^2\to\F^2$ �ɑ΂��� $A$ �̕s�ϕ�����Ԃ�S�ċ��߂�B
\bigskip


\noindent
{\bf [26]}
$L=\R^n$ �Ƃ���B$n$ ����ł���� $T$ �̕s�ϕ�����Ԃ� $1$ �����̂��̂����݂��邱�Ƃ������B
$n$ �������ł���� $T$ �̕s�ϕ�����Ԃ� $1$ �����̂��̂����݂���Ƃ͌���Ȃ����Ƃ������B

\bigskip
���ʂɑ���
\newpage

\noindent
{\bf [27]}
���̏����𖞂����s��̋�̗�������B

(a) $A, B\in M_2(\R)$ �� $A, B$ �̍ŏ��������͂Ƃ��� $x^2+1$ �ł��邪 $A\ne B, A\ne-B$.

(b) $A\in M_2(\R)$ �� $A$ �̍ŏ��������� $x^2+a x+b$.

(c) $A\in M_4(\R)$ �ōŏ��������� $(x^2+1)^2$.

\bigskip


\noindent
{\bf [28]}
���̍s��̍ŏ��������A�ŗL��ԁA��ʌŗL��Ԃ����߂�B
\medskip

(a) $\left(\begin{array}{cc}
2&-1\\
 1& 0
\end{array}\right)$,
\
(b)
$\left(\begin{array}{ccc}
1&0&1\\
0&1&0\\
1&0&1
\end{array}\right)$ ,
\
(c)
$\left(\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
0&1&1\\
0&0&1
\end{array}\right)$ ,
\
(d)
$\left(\begin{array}{ccc}
a&b&c\\
0&a&b\\
0&0&a
\end{array}\right)$ 


\end{document}


\noindent
{\bf [5]}
$e_1,e_2,\dots,e_n$ �� $L$ �̊��Ƃ���B$a_1,\dots,a_n\in\F$ �ɑ΂���
$T$ �� 

$Te_1=e_2, Te=2=e_3,\dots,Te_{n-1}=e_n$,

$Te_n=a_1 e_1+a_2e_2+\dots+a_ne_n$ 

\noindent
�ɂ���`����B

(a) $T$ �̍s��\�������߂�B

(b) $T$ �̓��������������߂�B

(c) $T$ �̍ŏ������������߂�B
\bigskip


\noindent
{\bf [5]}
$f_1,f_2\in\F[x]$ ���݂��ɑf�ł���� $g_1,g_2\in\F[x]$ ��
$$
 f_1g_1+f_2g_2=1,\quad \deg g_1<\deg f_2,\ \deg g_2<\deg f_1 
$$
�𖞂������̂���ӓI�ɑ��݂���i���[�N���b�h�̌ݏ��@��p����j�B

\bigskip



\noindent
{\bf [5]}
$\{A\in M_4(\R): A^2=O\}$ �̑����ɂ�铯�l�ނ����߂�B

\noindent
{\bf [4]}
$A\in M_2(\R)$ �� $A^3=I$ �𖞂������̂̑����ɂ�铙�l�ނ����肹��B
\bigskip

\bigskip

�@�������@$T^{-1}=f(T)$ �ƂȂ������� $f(x)$ �����݂���B


