\documentclass[a4j, 12pt]{jarticle}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%---------------------Page Format----------------------
\oddsidemargin=0truecm
\textwidth=16truecm
%---------------------------------------------------------------
\def\l{\lambda}
\def\e{\varepsilon}

\newcommand{\al}{{\alpha}}
\newcommand{\bt}{{\beta}}
\newcommand{\pa}{{\partial}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}

\begin{document}
\begin{center}
{\large\bf ���wIII ���|�[�g��� �@2006�N 1��11���z�z }
\end{center}

\medskip

���������̊J�n�܂łɃA�h�~�j�X�g���[�V�������̃��|�[�g�E�{�b�N�X�ɒ�o���邱�ƁD

\noindent
���̖���
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}hirachi/courses/sugaku-III-2005/
����_�E�����[�h�ł��܂��D


\medskip

\noindent
{\bf ��� 1.} �R�������$\mathbf R^3$�ɂ����Č��_$O$����$(x,y,z)$�܂ł̋���$r$�Ɗp$\theta\in[0,\pi]$, $\varphi\in[0,\pi]$���������Ď��̂悤�ɋɍ��W���`����F
$$
x=r\sin\theta\cos \varphi,\quad y=r\sin\theta\sin \varphi,\quad z=r\cos \theta
$$

(a) ���v���V�A�� $\Delta=\dfrac{\pa^2}{\pa x^2}+\dfrac{\pa^2}{\pa y^2}+\dfrac{\pa^2}{\pa z^2}$�͋ɍ��W$(r,\theta,\varphi)$��
$$
\Delta=\frac{\pa^2}{\pa r^2}+\frac{2}{r}\frac{\pa}{\pa r}
+\frac{1}{r^2}\frac{\pa^2}{\pa \theta^2}
+\frac{\cos\theta}{r^2\sin\theta}\frac{\pa}{\pa\theta}
+\frac{1}{r^2\sin^2 \theta}\frac{\pa^2}{\pa\varphi^2}
$$
�Ə����邱�Ƃ������i�v�Z���ȗ������ɏ������Ɓj�D

(b) $r$�ɂ݈̂ˑ�����֐�
$f(x,y,z)=g(r)=g(\sqrt{x^2+y^2+z^2})$��$r>0$�ɂ�����$\Delta f=0$���݂����̂�
$$g(r)=a+\frac{b}{r} \quad\text{(������$a,b$�͒萔)}$$
�̏ꍇ�Ɍ��邱�Ƃ������D[�q���g:$g(r)=h(r)r^{-1}$�Ƃ���$h$�Ɋւ�����������߂�D]

(c) $c>0$�ɑ΂���$W=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2\le c^2\}$�Ƃ����Ƃ��L�`�ϕ�
$$
\iiint_W \left(a+\frac{b}{r}\right)dxdydz
$$
�����߂�D

\bigskip
\noindent
{\bf ��� 2.} ���̊֐��̋ɒl�����߂�D�܂�����炪�ő�C�ŏ��l��^���邩�𒲂ׂ�D

\medskip

(a) $f(x,y)=(x+y)e^{-x^2-y^2}$ �@�@�@(b) $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$

\bigskip
\noindent
{\bf ��� 3.} 
�񍀋���$\dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty
(-1)^nx^{2n}$��ϕ������$|x|<1$�ɂ�����
$$
\tan^{-1}x
=\sum_{n=0}^\infty
\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}
$$
��������D���̓W�J��$x=1$�ł����藧���ƁC���Ȃ킿
$$
\frac{\pi}4=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots
$$
�������D�i�A�[�x���̑�Q�藝(�藝6.23)������������Ƃ��ł��邪�C���̂悤�ɏ����I�Ɏ����Ăق����D�j
�q���g�F$\dfrac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^k
(-1)^nx^{2n}+H_k(x)$���݂����L����$H_k(x)$������
 $$\lim_{k\to\infty}\int_0^1 H_k(x)dx=0$$
�������D


\end{document}


