% typeset by LaTeX

\documentclass{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsmath}

\def\ve#1{
\text{{\fontfamily{cmr}\fontseries{bx}\fontshape{it}\selectfont #1}}
}
\def\Ve#1{
\text{{\fontfamily{cmr}\fontseries{bx}\fontshape{it}\selectfont #1}}
}

\def\C{\Bbb{C}}
\def\F{\Bbb{F}}
\def\R{\Bbb{R}}
\def\Q{\Bbb{Q}}

\begin{document}
{\large ���wII ���K�@2001�N4��17��}�@�S���@���n����, TA �t����


\bigskip

�ȉ��̓�������i�T���P���j�̉��K�̎��Ԃ́w�͂��߁x�Ƀ��|�[�g�Ƃ��Ē�o����
����.
�p����A4��p���邱�ƁB
\bigskip

\noindent
{\bf [R1]}
$(x,y,z)$ ��ԓ��̕��� $ax+by+cz+d=0$ �Ɠ_ $P=(x_1,y_1,z_1)$ �Ƃ̋�����
$$
\frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}
$$
�ŗ^�����邱�Ƃ������B
\bigskip

 \noindent
{\bf [R2]}
���ʏ�̓�x�N�g�� $
{\ve a}=\left(
 \begin{array}{c}a_1\\a_2 \end{array}
\right)$,
${\ve b}=\left(\begin{array}{c}
b_1\\b_2 \end{array}
\right)
$
��^���Ă����B�ʑ� $f:{\bf R}^2\to{\bf R}^2$ ��C�ӂ� $\ve x$ �ɑ΂���
$
 f({\ve x})=({\ve a}\cdot{\ve x}){\ve b}
 $
�ɂ���Ē�`����B

(1) $f$ �͂P���ϊ��ł��邱�Ƃ������B

(2) �P���ϊ� $f$ �̍s������߂�B

\bigskip
�ȉ��̖��͂��̉��K�̎��Ԃɉ����āA��]�҂͍��ŉ𓚂�������Ă��������i��
�тɏ����������_���܂��G����ł��悢�j�B

\noindent
{\bf [1]}
���ʏ�ɂP�̃x�N�g�� ${\bf a}=\left(
 \begin{array}{c}
a\\b \end{array}
\right)$ 
��^���Ă����B�ʑ� $f:{\bf R}^2\to{\bf R}^2$ ����� $g:{\bf R}^2\to{\bf R}^
2$
�����ꂼ��
$
 f({\ve x})=({\ve a}\cdot{\ve x}){\ve a}$, $
 g({\ve x})={\ve x}-({\ve a}\cdot{\ve x}){\ve a}
$
�ɂ���Ē�`����B������ ${\ve a}\cdot{\ve x}$ �̓x�N�g���̓��ς��Ӗ�����B
 
 (1) $f,g$ �͂P���ϊ��ł��邱�Ƃ��m���߂�B
 
 (2) �P���ϊ� $f,g$ �̍s������߂�B
 
\bigskip
 \noindent
{\bf [2]}
���̂悤�ȃx�N�g�� ${\ve n}$ �ɐ����œ_ $P$ ��ʂ镽�ʂ̕����������߂�B

(1) ${\ve n}={\ve e}_1-{\ve e}_2+3{\ve e}_3$, �@�@$P=(4,2,-1)$;

(2) ${\ve n}=3{\ve e}_1+2{\ve e}_2-4{\ve e}_3$, �@$P=(2,3,-5)$;

(3) ${\ve n}={\ve e}_1-5{\ve e}_2$, �@�@�@�@�@$P=(2,3,7)$.

\bigskip
 \noindent
{\bf [3]}
���̂悤�ȂR�_��ʂ镽�ʂ̕����������߂�B

(1) $(2,1,1), (3,-1,1), (4,1,-1)$;

(2) $(-2,3,-1), (2,2,3), (-4,-1,1)$;

(3) $(-5,-1,2), (1,2,-1), (3,-1,2)$.

\bigskip
 \noindent
{\bf [4]}
���̂悤�ȓ_�ƕ��ʂ̋��������߂�B

(1) $(1,1,2)$,  �@�@�@�@$3x+y-5z-2=0$;

(2) $(-1,3,2)$,  �@�@�@�@$2x-4y+z-1=0$;

(3) $(3,-2,1)$,  �@�@�@�@$yz$-����;

(4) $(-3,-2,1)$,  �@�@�@�@$yz$-����.

\newpage


{\large ���wII ���K�@2001�N5��1��}�@�S���@���n����, TA �t����


\bigskip

�ȉ��̓�������i�T���P�T���j�̉��K�̎��Ԃ́w�͂��߁x�Ƀ��|�[�g�Ƃ��Ē�
�o���ĉ������B
�p����A4��p���ĉ������B
\bigskip

\noindent
{\bf [R3]}
���̗�x�N�g�����ꎟ�Ɨ����ǂ������ׂ�B�ꎟ�]���Ȃ�΁A�����̃x�N�g��
�̎����łȂ��ꎟ�����ɂ����${\ve o}$�i�[���x�N�g���j��\���i��̗��^����΂悢�G�S�Ẳ������߂�K�v�͂Ȃ��j�B
$$(1)\ \left(\begin{array}{c}
-2 \\
1 \\
-1
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}
4 \\
-3 \\
4
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}
-6 \\
5 \\
-2
\end{array}\right).\ \
(2)\ \left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-1
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
1
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}
5 \\
7 \\
-1
\end{array}\right).
$$
$$(3)\ \left(\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
1 \\
-1
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}
1 \\
2 \\
3 \\
0
\end{array}\right).\ \
(4)\ \left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
1 \\
-2
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
-3 \\
0
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
-1 \\
-1
\end{array}\right),
\left(\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
2 \\
-3
\end{array}\right).
$$

\bigskip

 \noindent
{\bf [R4]}
�p�����[�^�[$a,b$���܂ގ��̈ꎟ�������n�������B($a,b$�ɂ��ďꍇ������
��������ƍs���Ă��������B�j
$$
\left\{
 \begin{array}{ccc}
        x_2 + 4x_3 + 2x_4 &=& 2 \\
    -x_1 + x_2 + 3x_3 + 2x_4 &=& 3 \\
 x_1 + x_2 + 5x_3 + 2x_4 &=& b \\
 2x_1 + x_2 + 6x_3 + ax_4 &=& 0
 \end{array}
\right.$$

�ȉ��̖��͂��̉��K�̎��Ԃɉ����āA��]�҂͍��ŉ𓚂�������Ă�����
���B�i���̔��\�̓��|�[�g��o���Ɠ����|�C���g�Ƃ��ďW�v���܂��G
���������͏�����܂Ƃ߂Ĉ�Ƃ݂Ȃ��A�����̂Ƃ��̂݃|�C���g�Ƃ���
���j�B

\bigskip
\noindent
{\bf [5]}
���̃x�N�g��${\ve x}$��${\ve a}=\left(\begin{array}{c}1\\2\\0
\end{array} \right),{\ve b}=\left(\begin{array}{c}0\\-3\\2 \end{array}
\right),{\ve c}=\left(\begin{array}{c}2\\4\\1 \end{array} \right)$�̈ꎟ
�����Ƃ��ď����B
$$
(1)\ {\ve x}=\left(\begin{array}{c}3\\3\\3 \end{array} \right),\ (2)
 {\ve x}=\left(\begin{array}{c}6\\21\\-2 \end{array} \right),\ (3)\ {\ve
x}=\left(\begin{array}{c}1\\5\\3 \end{array} \right)
$$

\bigskip
\noindent
{\bf [6]}
���̍s��̊K�������߂�B
$$
(1)\ \left(
 \begin{array}{ccc}
 3 & -4 & -3 \\
 -2 & 2 & 1 \\
 2 & 1 & 0
 \end{array}
\right)
\ (2)\
\left(
 \begin{array}{ccc}
 1 & 2 & 1 \\
 -1 & -1 & 2 \\
 0 & 1 & 3
 \end{array}
\right)
\ (3)\
\left(
 \begin{array}{cccc}
 4 & -7 & 6 & 1 \\
 1 & 0 & 5 & 2 \\
 -1 & 5 & 5 & 3 \\
 0 & 1 & 2 & 1
 \end{array}
\right)
$$

\bigskip
 \noindent
{\bf [7]}
${\bf R}^2$�ɂ����āA�ꎟ�Ɨ��ȃx�N�g���̍ő���͂Q�ł��邱�Ƃ���
���B

\bigskip
 \noindent
{\bf [8]}
${\bf R}^3$�̕�����Ԃ́A$\{ {\ve o} \}$�A���_��ʂ钼���A���_��ʂ镽
�ʁA${\bf R}^3$�̂S�̏ꍇ�݂̂ƂȂ邱�Ƃ������B

\bigskip
 \noindent
{\bf [9]}
���̈ꎟ�������n�������B
$$
(1)\ \left\{
 \begin{array}{ccc}
 x_1 + 2x_2 - x_3  &=& 0 \\
 2x_1 + 2x_2 - x_3 &=& 0 \\
 -x_1 - x_2 + x_3 &=& 0
 \end{array}
\right.
\ \ \ \
(2)\ \left\{
 \begin{array}{ccc}
 x_1 + x_2 + 2x_3 + x_4 &=& 0 \\
 x_1 + x_2 + 3x_3 + 2x_4 &=& 0\\
 2x_1 - x_2 + 2x_3 - x_4 &=& 0
 \end{array}
\right.
$$
$$
(3)\ \left\{
 \begin{array}{ccc}
 2x_1 - x_2 + x_3 - x_4 &=& 4 \\
 x_1 - x_2 - x_3 + x_4 &=& 5 \\
 -2x_1 + 2x_2 + x_3 +2x_4 &=& -4 \\
 -x_1 + x_2 - x_3 + 3x_4 &=& 3
 \end{array}
\right.
\ \ \ \
(4)\ \left\{
 \begin{array}{ccc}
 x_1 + 2x_2 - 8x_3 - 3x_4 &=& 1 \\
 2x_1 - x_2 - x_3 + 4x_4 &=& 7\\
 3x_1 + 2x_2 - 12x_3 - x_4 &=& 7
 \end{array}
\right.
$$

\bigskip
 \noindent
{\bf [10]}
���̈ꎟ�������n�����������Ȃ����Ƃ������B
$$
(1)\ \left\{
 \begin{array}{ccc}
 2x_1 + 3x_2 - x_3 &=& -3 \\
 x_1 - x_2 + 2x_3 &=& 6 \\
 x_1 + 3x_2 + 2x_3 &=& 2 \\
 2x_1 + 4x_2 - x_3 &=& -1
 \end{array}
\right.
\ \ \ \
(2)\ \left\{
 \begin{array}{ccc}
 x_1 - 2x_2 - x_3 + x_4 &=& -3 \\
 -2x_1 + 4x_2 + 3x_3 &=& 8 \\
 3x_1 - 6x_2 + 2x_3 +13x_4 &=& -10 \\
 2x_1 - 4x_2 + x_3 + 9x_4 &=& -7
 \end{array}
\right.
$$


\newpage

{\large ���wII ���K�@2001�N5��15��}�@�S���@���n����, TA �t����


\bigskip

�ȉ��̓�������i5��29���j�̉��K�̎��Ԃ́w�͂��߁x�Ƀ��|�[�g�Ƃ��Ē�o
���ĉ������B
�p����A4��p���ĉ������B
\bigskip

\noindent
{\bf [R5]}
(1) ���s��
$A=\left(
 \begin{array}{cc}
 a & -b \\
    b & a
 \end{array}
\right) $
�� $a=b=0$ �łȂ����萳���ł��邱�Ƃ������B

\noindent
(2)��̂悤�� $A$ �ɑ΂��ĕ��f�� $\alpha=a+ib$,�i$a,b$ �͎����j��Ή�����
��B
����� $A \longleftrightarrow \alpha$ �Ə������Ƃɂ���B���̑Ή��ɂ��A��
��
�悤�Ȍ`�̍s��S�̂̏W���ƕ��f���S�̂̏W������Έ�ɂ���Ȃ��Ή�����B
���̂Ƃ��A�s��̘a�A�ρA�t�s��ɂ́A���f���̘a�A�ρA�t�������ꂼ��Ή���
��
���Ƃ������B

\vspace{18pt}
 \noindent
{\bf [R6]}
$A=\left(
 \begin{array}{cccc}
 a & 0 & 0 & 0 \\
    0 & a & 0 & 0 \\
 0 & 0 & a & 0 \\
 0 & 0 & 0 & a
 \end{array}
\right) $\ ($a$ �͒萔�j,
$B=\left(
 \begin{array}{cccc}
 0 & 1 & 0 & 0 \\
    0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1 \\
 0 & 0 & 0 & 0
 \end{array}
\right)$
\medskip
�Ƃ���Ƃ��A$A^n,B^n, (A+B)^n$ �����߂�B

\bigskip
�ȉ��̖��͂��̉��K�̎��Ԃɉ����āA��]�҂͍��ŉ𓚂�������Ă�����
���B
�i���̔��\�̓��|�[�g��o���Ɠ����|�C���g�Ƃ��ďW�v���܂��G���������
��
������܂Ƃ߂Ĉ�Ƃ݂Ȃ��A�����̂Ƃ��̂݃|�C���g�Ƃ��܂��B�j

\bigskip
\noindent
{\bf [11]} �s�� $A$ �Ɨ�x�N�g�� ${\ve b}$ �����̂悤�ɗ^����ꂽ�Ƃ��A${\ve
x}$
�Ɋւ���ꎟ������ $A{\ve x}={\ve b}$ �������B

(1) $A=\left(
 \begin{array}{ccc}
 1 & 2 & 1\\
    3 & 4 & 7\\
    3 & 2 & 11
 \end{array}
\right) $, ${\ve b}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 8 \\ 10
\end{array}\right)$

(2) $A=\left(
 \begin{array}{cccc}
 1 & 1 & 2 & 15 \\
    2 & 5 & 4 & 39 \\
    8 & 9 & 8 & 83
 \end{array}
\right) $, ${\ve b}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 7
\end{array}\right)$

(3) $A=\left(
 \begin{array}{cccc}
 1 & 2 & 3 & 4 \\
    5 & 6 & 7 & 8 \\
    9 & 10 & 11 & 12 \\
    13 & 14 & 15 & 16
 \end{array}
\right) $, ${\ve b}=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 3 \\ 7 \\ 11
\end{array}\right)$


\bigskip
\noindent
{\bf [12]}
(1) $A=\left(
 \begin{array}{cc}
 a & b \\
    c & d
 \end{array}
\right) $ �Ƃ���Ƃ� $A^2-(a+d)A+(ad-bc)I_2=O$ �������B

\noindent
(2) $A^2=O$ �ƂȂ�悤�ȂQ���̎��s�� $A$ �����ׂċ��߂�B

\bigskip
\noindent
{\bf [13]}
(1) $A$ �������ł���� $A^{-1}$ �������ł��� $(A^{-1})^{-1}=A$ �ł��邱��
�������B

\noindent
(2) $A,B$ �����ɐ����ł���΁A$AB=BA$ �ł��邽�߂̕K�v�\��������
$A^{-1}B^{-1}=B^{-1}A^{-1}$ �ł��邱�Ƃ������B

\noindent
(3)���鎩�R�� $k$ �ɂ��� $A^k$ �������ł���΁A�C�ӂ̎��R�� $n$ �ɂ���
$A^n$ �������ł��邱�Ƃ������B


\bigskip
 \noindent
{\bf [14]}
(1) $A=\left(
 \begin{array}{ccc}
 3 & 1 & 4\\
    0 & -2 & 3\\
    0 & 0 & 4
 \end{array}
\right) $ �Ƃ���Ƃ��A$A^{-1}$ �����߂�B

\noindent
(2) ${\ve b}=\left(\begin{array}{c}2 \\ -3 \\ 4 \end{array}\right)$ �Ƃ�
��B
(1) �� $A$ �Ɋւ��āA${\ve x}$ �Ɋւ���ꎟ������
$A{\ve x}={\ve b},A^{-1}{\ve x}={\ve b}$ �����ꂼ������B


\bigskip
 \noindent
{\bf [15]}
${\ve x}$ �Ɋւ���ꎟ������ $A{\ve x}={\ve b}$ �̈�̉� ${\ve x_s}$ ���^��
��ꂽ�Ƃ��A${\ve y}$ �����̕������̉��ł���K�v�\�������́A�ꎟ������
$A{\ve x}={\ve o}$ �̂���� ${\ve x_0}$ ��p���� ${\ve y}={\ve x_0}+{\ve
x_s}$ �Ƃ����邱�Ƃł��邱�Ƃ������B


\bigskip
 \noindent
{\bf [16]}
$A$ �𐳕��s��Ƃ���B${\ve x}$ �Ɋւ���ꎟ������ $A{\ve x}={\ve b}$ ��
�C�ӂ�${\ve b}$ �ɂ��ĉ������K�v�\�������� $A$ �������ł��邱�Ƃ������B


\bigskip
 \noindent
{\bf [17]}
�s�� $A,B$ �� $AB=BA$ �𖞂����Ƃ��A�Q���W�J
$(A+B)^n={\displaystyle \sum_{k=1}^{n}}{}_n$C${}_kA^{n-k}B^k$ �����藧��
���Ƃ������B

\newpage



{\large ���wII ���K�@2001�N6��1��}�@�S���@���n����, TA �t����


\bigskip
���|�[�g���͂���܂���B
�ȉ��̖������̉��K�̎��Ԃɉ����āA��]�҂͍��ŉ𓚂�������Ă�����
���B
�i���̔��\�̓��|�[�g��o���Ɠ����|�C���g�Ƃ��ďW�v���܂��G���������
��
������܂Ƃ߂Ĉ�Ƃ݂Ȃ��A�����̂Ƃ��̂݃|�C���g�Ƃ��܂��B�j

\bigskip
\noindent
{\bf [18]} (1) 2 ���̒����s������ׂċ��߂�B

\noindent
(2) 2 ���̃G���~�b�g�s������ׂċ��߂�B


\bigskip
\noindent
{\bf [19]} $A$ �� $n$ �������s��Ƃ���B�ȉ��̕K�v�\�������ؖ�����B�i(1) (2) 
�͎����ρA(3) (4) �͕��f���ς��g���Ă��邱�Ƃɒ��ӁB�j
�ȉ� $\|{\Ve x}\|=\sqrt{({\Ve x},{\Ve x})}$ �Ƃ���B

\medskip
\noindent
\begin{tabular}[t]{lcl}
(1) $A$���Ώ̍s�� & $\Longleftrightarrow$ & �C�ӂ� ${\Ve x},{\Ve
y}\in{\mathbb R}^n$ �ɂ��� $(A{\Ve x},{\Ve y}) =({\Ve x},A{\Ve y}) $\\
(2) $A$�������s�� & $\Longleftrightarrow$ & �C�ӂ� ${\Ve x},{\Ve
y}\in{\mathbb R}^n$ �ɂ��� $(A{\Ve x},A{\Ve y}) =({\Ve x},{\Ve y}) $\\
  & $\Longleftrightarrow$ & �C�ӂ� ${\Ve x}\in{\mathbb R}^n$ �ɂ��� ${\|
A}{\Ve x}\|=\|{\Ve x}\|$\\
(3) $A$���G���~�b�g�s�� & $\Longleftrightarrow$ & �C�ӂ� ${\Ve x},{\Ve
y}\in{\mathbb C}^n$ �ɂ��� $(A{\Ve x},{\Ve y}) =({\Ve x},A{\Ve y}) $\\
(4) $A$�����j�^���s�� & $\Longleftrightarrow$ & �C�ӂ� ${\Ve x},{\Ve
y}\in{\mathbb C}^n$ �ɂ��� $(A{\Ve x},A{\Ve y}) =({\Ve x},{\Ve y}) $\\
  & $\Longleftrightarrow$ & �C�ӂ� ${\Ve x}\in{\mathbb C}^n$ �ɂ��� ${\|
A}{\Ve x}\|=\|{\Ve x}\|$
\end{tabular}

\bigskip
\noindent
{\bf [20]} (1) $A$ ���G���~�b�g�s��Ȃ�C�ӂ̎��R�� $n$ �ɂ��� $A^n$ ���G���~
�b�g�s��ł��邱�Ƃ������B

\noindent
(2) $A$ ���G���~�b�g�s��Ƃ���B���鎩�R�� $k$ �ɂ��� $A^k=O$ �Ȃ�� $A=O$ ��
���邱�Ƃ������B

\bigskip
 \noindent
{\bf [21]} �s�� $A, B$ �����̂悤�ɗ^����ꂽ�Ƃ��A�����s�� $X$ �Ɋւ��������
$AX=B$ �������B

(1) $A=\left(
 \begin{array}{cc}
 1 & -3 \\
    -2 & 6
 \end{array}
\right)  $,
$B=\left(
 \begin{array}{cc}
 -7 & -4 \\
    14 & 8
 \end{array}
\right) $

(2) $A=\left(
 \begin{array}{ccc}
 1 & 2 & 3 \\
    -2 & -3 & -4 \\
    2 & 2 & 3
 \end{array}
\right)  $,
$B=I_3$

(3) $A=\left(
 \begin{array}{ccc}
 3 & -4 & -3 \\
    -2 & 2 & 1 \\
    2 & -1 & 0
    \end{array}
\right)  $,
$B=\left(
 \begin{array}{ccc}
 2 & 1 & 3 \\
    -1 & -2 & 1 \\
    2 & 1 & -1
    \end{array}
\right)  $


\bigskip
 \noindent
{\bf [22]} $X_n$ �͐����ł��e������0�܂���1�ł���悤�� $n$ �������s��̏W
���ł���Ƃ���B

\noindent
(1) $X_2$ �̗v�f�����ׂď����o���B

\noindent
(2) $X_3$ �ɑ�����v�f�̌������߂�i�����j�B

\newpage


{\large ���wII ���K�@2001�N6��26��}�@�S���@���n����, TA �t����


\bigskip

�ȉ��̖�������i7��13���j�̉��K�̎��Ԃ́w�͂��߁x�Ƀ��|�[�g�Ƃ��Ē�o
���ĉ������B
�p����A4��p���ĉ������B

\bigskip
\noindent
{\bf [R7]} $n$ ���Ώ̌Q $S_n$ �ɂ��Ď��̖₢�ɓ�����B

\medskip
\noindent
(1) $\sigma$ �� $S_n$ �S�̂��d���Ȃ������Ƃ��A${\sigma}^{-1}$ �� $S_n$
 �S�̂��d���Ȃ��������Ƃ������B

\noindent
(2) $\tau$ ���Œ肳�ꂽ $S_n$ �̌��Ƃ���B$\sigma$ �� $S_n$ �S�̂��d����
�������Ƃ��A${\sigma}{\tau}$ ���A�܂� ${\tau}{\sigma}$ �� $S_n$ �S�̂��d
���Ȃ��������Ƃ������B

\bigskip
\noindent
{\bf [R8]}���ʏ�̓��꒼����ɂȂ� $3$ �_
$(x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)$ ��ʂ�~�̕�������

$$\left|\begin{array}{cccc}
 x^2+y^2 & x & y & 1 \\
    {x_1}^2+{y_1}^2 & x_1 & y_1 & 1 \\
    {x_2}^2+{y_2}^2 & x_2 & y_2 & 1 \\
    {x_3}^2+{y_3}^2 & x_3 & y_3 & 1
 \end{array}
\right| = 0 $$

\noindent
�ŗ^�����邱�Ƃ������B

\bigskip
�ȉ��̖��͂��̉��K�̎��Ԃɉ����āA��]�҂͍��ŉ𓚂�������Ă�����
���B
�i���̔��\�̓��|�[�g��o���Ɠ����|�C���g�Ƃ��ďW�v���܂��G���������
��
������܂Ƃ߂Ĉ�Ƃ݂Ȃ��A�����̂Ƃ��̂݃|�C���g�Ƃ��܂��B�j

\bigskip
 \noindent
{\bf [23]}���̒u�����݊��̐ςŕ\���B

\medskip
\noindent
(1) $\left(\begin{array}{ccccc}
 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
 2 & 5 & 4 & 3 & 1
\end{array}
\right)$  \hspace{10mm}
(2) $\left(\begin{array}{cccccccc}
 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
 8 & 7 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1
\end{array}
\right)$

\smallskip
\noindent
(3) $\left(\begin{array}{ccccccccc}
 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
 3 & 5 & 7 & 1 & 8 & 2 & 4 & 6
\end{array}
\right)$

\bigskip
\noindent
{\bf [24]}�u���Ɋւ��鎟�̖₢�ɓ�����B

\smallskip
\noindent
(1) �C�ӂ̒u�����݊��̐ςŕ\�����Ƃ��A���̌݊��̌��������ł��邩
��ł��邩�͌݊��̐ς̕\�����ɂ��Ȃ����Ƃ������B�i�����A�u�`�ł����
���܂��j

\smallskip
\noindent
(2) (1) ����݊��̌��������̒u�������u���A��̒u������u���Ƃ����B
$n$ ����
���u���Ɗ�u���̌��͓��������Ƃ������B�܂�����͂������邩���߂�B

\newpage
\noindent
{\bf [25]}���̒u�������u���ł��邩��u���ł��邩���肹��B

\medskip
\noindent
(1) $\left(\begin{array}{ccccccccc}
1 & 2 & \ldots & k-1& k & k+1 & \ldots & n-1 & n \\
n-k+2  & n-k+3  & \ldots & n & 1 & 2 & \ldots   & n-k & n-k+1
\end{array}
\right)$

������ $1 \le k \le n$

\medskip
\noindent
(2) $\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & \ldots & n-1 & n \\
n & n-1 & \ldots & 2 & 1
\end{array}
\right)$

\bigskip
\noindent
{\bf [26]}���̍s�񎮂��v�Z����B

(1) $\left|\begin{array}{ccc}
 1 & 2 & 1\\
    6 & 4 & 3\\
    8 & 8 & 9
 \end{array}
\right| $ \hspace{5mm}
(2) $\left|
 \begin{array}{ccc}
 70 & 42 & 25 \\
    26 & 13 & 16 \\
    94 & 54 & 40
 \end{array}
\right| $ \hspace{5mm}
(3) $\left|
 \begin{array}{cccc}
 1 & 2 & 3 & 4 \\
    4 & 1 & 2 & 3 \\
    3 & 4 & 1 & 2 \\
    2 & 3 & 4 & 1
 \end{array}
\right| $ \hspace{5mm}
(4) $\left|
 \begin{array}{cccc}
 3 & -2 & 5 & 1 \\
    2 & -5 & -1 & 4 \\
    1 & 3 & 2 & 5 \\
    -3 & 2 & 3 & 2
 \end{array}
\right| $


\bigskip
\noindent
{\bf [27]} $A,D$ �𐳕��s��Ƃ���Ƃ�
$\det \left(
 \begin{array}{cc}
 A & B \\
    O & D
 \end{array}
\right)= \det A \cdot \det D$ �����藧���Ƃ������B������ $O$ �͗�s��
��\���B

\bigskip
\noindent
{\bf [28]} $A,B$ �� $n$ ���������s��ł���Ƃ���B

\noindent
(1) $\det\left(
 \begin{array}{cc}
 A & B \\
    B & A
 \end{array}
\right)= \det(A+B)\cdot\det(A-B)$ �������B

\noindent
(2) $\det\left(
 \begin{array}{cc}
 A & -B \\
    B & A
 \end{array}
\right)= |\det(A+\sqrt{-1}B)|^2$ �������B

\bigskip
\noindent
{\bf [29]}���̍s�񎮂��v�Z����B�������s��͂��ׂĎ��s��Ƃ���B

\noindent
(1) $\left|
 \begin{array}{cccc}
 a & -b & -c & -d \\
    b & a & -d & c \\
    c & d & a & -b \\
    d & -c & b & a
 \end{array}
\right| $ \hspace{10mm}
(2) $\left|
 \begin{array}{ccccc}
  0 & 0 & \ldots & 0 & a_1 \\
     0 & 0 & \ldots & a_2 & 0 \\
     \vdots & \vdots &    & \vdots & \vdots \\
     0 & a_{n-1} & \ldots & 0 & 0 \\
  a_{n}& 0 & \ldots & 0 & 0
 \end{array}
\right| $

\noindent
(3) $\left|
 \begin{array}{cccc}
 A & B & C & D \\
    B & A & D & C \\
    C & D & A & B \\
    D & C & B & A
 \end{array}
\right| $ \hspace{5mm}$A,B,C,D$ �͐����s��

\noindent
(4) $\left|
 \begin{array}{ccccc}
 1 & n & n & \ldots & n \\
    n & 2 & n & \ldots & n \\
    n & n & 3 & \ldots & n \\
    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    n & n & n & \ldots & n
     \end{array}
\right| $ \hspace{8mm}
(5) $\left|
 \begin{array}{ccccc}
 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\
    -1 & 0 & 3 & \ldots & n \\
    -1 & -2 & 0 & \ldots & n \\
    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    -1 & -2 & -3 & \ldots & 0
 \end{array}
\right| $ \hspace{8mm}

\newpage


{\large ���wII ���K�@2001�N7��13��}�@�S���@���n����, TA �t����

\bigskip
�ȉ��̖������̉��K�̎��Ԃɉ����āA��]�҂͍��ŉ𓚂�������Ă�����
���B
�i���̔��\�̓��|�[�g��o���Ɠ����|�C���g�Ƃ��ďW�v���܂�; ���������
��
������܂Ƃ߂Ĉ�Ƃ݂Ȃ��A�����̂Ƃ��̂݃|�C���g�Ƃ��܂��B�j

\bigskip
\noindent
{\bf [30]}���̍s�񎮂��v�Z����B

\smallskip
\noindent
(1) $\left|\begin{array}{cccc}
 -4 & 0 & 0 & 3 \\
    3 & -1 & 0 & 3 \\
    0 & 0 & -1 & 0 \\
    -6 & 0 & 0 & 5
 \end{array}
\right| $ \hspace{3mm}
(2) $\left|
 \begin{array}{cccc}
 1 & 1 & 1 & -2 \\
    1 & 1 & 1 & 0 \\
    3 & 1 & 3 & 2 \\
    1 & 1 & 0 & 3
 \end{array}
\right| $ \hspace{3mm}
(3) $\left|
 \begin{array}{cccc}
 1 & 0 & 0 & 4 \\
    -2 & -3 & 0 & 0 \\
    -4 & -8 & 1 & 0 \\
    1 & 2 & 3 & 2
 \end{array}
\right| $

\bigskip
\noindent
{\bf [31]}�N���[�����̌�����p���Ď��̍s��̋t�s������߂�B

\smallskip
\noindent
(1) $\left(\begin{array}{ccc}
 1 & 0 & -1 \\
    1 & 2 & 1 \\
    2 & 2 & 3
 \end{array}
\right) $ \hspace{5mm}
(2) $\left(
 \begin{array}{ccc}
 1 & 1 & 1 \\
    a & b & c \\
    a^2 & b^2 & c^2
 \end{array}
\right) $ \hspace{3mm}�i������ $a{\neq}b,b{\neq}c,c{\neq}a$ �j

\bigskip
\noindent
{\bf [32]}�N���[�����̌�����p���Ď��̎��W���̈ꎟ�������n�������B

\smallskip
\noindent
$(1) \left\{
 \begin{array}{ccc}
 3x_1 - 4x_2 - 3x_3 &=& 1 \\
 -2x_1 + 2x_2 + x_3 &=& 2 \\
 -x_1 + 5x_2 + 3x_3 &=& -1
 \end{array}
 \right.\hspace{8mm}
(2) \left\{
 \begin{array}{ccc}
 x_1 - bx_2 - cx_3 - dx_4 &=& 0 \\
 bx_1 + x_2 - dx_3 + cx_4 &=& 1 \\
 cx_1 + dx_2 + x_3 - bx_4 &=& 0 \\
 dx_1 - cx_2 + bx_3 + x_4 &=& 0
 \end{array}
 \right.
$

\bigskip
\noindent
{\bf [33]} (1) �G���~�[�g�s��̍s�񎮂͎����ł��邱�Ƃ������B

\smallskip
\noindent
(2) ���j�^���s��̍s�񎮂͐�Βl�P�̕��f���ł��邱�Ƃ������B�����s��̂�
����
�ǂ��Ȃ邩������B

\smallskip
\noindent
(3) �����s�� $A$ ������ $n$ �ɑ΂��� $A^n=O$ �𖞂�����
$A$ �̍s�񎮂� $0$ �ł��邱�Ƃ������B

\bigskip
\noindent
{\bf [34]} $n$ �����f�����s�� $A$ �ɑ΂��A�ϐ� $\lambda$ �Ɋւ��� $n$ ��
������
 $\det ({\lambda}I_n-A)=0$ ���l����B

\smallskip
\noindent
(1) �s�� $A=\left(\begin{array}{cccc}
-10 & -3 & 1 & 1 \\
16 & 5 & -1 & -2 \\
-28 & -8 & 4 & 2 \\
-14 & -4 & 2 & 1
\end{array}
\right)$ �ɑ΂��ď�̕������̉������߂�B

\medskip
\noindent
(2) $P$ �𐳑��s��Ƃ���Ƃ��A�s�� $P^{-1}AP$ �ɑ΂���������� $A$ �ɑ�
����
�������ƈ�v���邱�Ƃ������B

\bigskip
\noindent
{\bf [35]} $n$ ���s��
$\left(
 \begin{array}{ccccc}
  1 & a & a & \ldots & a \\
     a & 1 & a & \ldots & a \\
     a & a & 1 & \ldots & a \\
     \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
     a & a & a & \ldots & 1
 \end{array}
\right) $
�̍s�񎮂��v�Z���A�t�s������߂�B

\smallskip
������ $0<a<1$ �Ƃ���B

\bigskip
\noindent
{\bf [36]} $A$ �������s��A$D$ �������s��̂Ƃ��A�������藧���Ƃ���
���B

\medskip
$\det\left(\begin{array}{cc}
 A & B \\
    C & D
 \end{array}
\right)=
(\det A) \cdot \det (D-CA^{-1}B)$

\bigskip
\noindent
{\bf [37]}���̍s�񎮂��v�Z����B�i(5)�ɂ��Ă͓������ؖ�����B�j

\bigskip
\noindent
(1) $\left|
 \begin{array}{cccc}
 0 & a & b & c \\
    -a & 0 & d & e \\
    -b & -d & 0 & f \\
    -c & -e & -f & 0
 \end{array}
\right| $ \hspace{10mm}
(2) $\left|
 \begin{array}{ccccc}
  1+x^2 & x & 0 & \ldots & 0 \\
     x & 1+x^2 & x & \ldots & 0 \\
     0 & x & 1+x^2 & \ddots & \vdots \\
     \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & x \\
     0 & 0 & \ldots & x & 1+x^2
 \end{array}
\right|$

\bigskip
\noindent
(3) $\left|
 \begin{array}{ccccc}
 1 & 0 & \ldots & 0 & a_1 \\
    0 & 1 & \ldots & 0 & a_2 \\
    \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
    0 & 0 & \ldots & 1 & a_{n-1} \\
    a_1 & a_2 & \ldots & a_{n-1} & b
 \end{array}
\right| $ \hspace{10mm}
(4) $\left|
 \begin{array}{cccccc}
  1 & 1 &   &  & &  \\
     1 & 1 & 1 &  & &  \\
       & 1 & 1 & \ddots & & \\
       &   & \ddots & \ddots & \ddots & \\
       &   &  & \ddots & 1 & 1\\
       &   &        &   & 1 & 1
 \end{array}
\right|$

\bigskip
\noindent
(5) $\left|
 \begin{array}{ccccc}
 x_0 & x_1 & x_2 & \ldots & x_{n-1} \\
    x_{n-1} & x_0 & x_1 & \ldots & x_{n-2} \\
    x_{n-2} & x_{n-1} & x_0 & \ldots & x_{n-3} \\
    \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
    x_1 & x_2 & x_3 & \ldots & x_0
 \end{array}
\right| = \displaystyle \prod_{{\alpha}^n=1}
(x_0+{\alpha}x_1+{{\alpha}^2}x_2
+\ldots+{\alpha}^{n-1}x_{n-1})$

\smallskip
�������E�ӂ� $1$ �� $n$ �捪���ׂĂɂ킽��ς�\���B

\newpage




{\large ���w IV  �@2001�N10��19���z�t}�@�S���@���n����


\bigskip \noindent 
{\bf �P�O���P�Q���̍u�`}

�E ���x�N�g����Ԃ���ʉ����邱�Ƃɂ�蒊�ۃx�N�g����Ԃ���`�����

�E�a�ƃX�J���[�{�̉��Z���^������ΐ��`�㐔���ł���

�E�������̋�ԁA�A���֐��̂Ȃ���ԂȂǂ���

�E�x�N�g����Ԃł̌v�Z�͐��x�N�g���̂悤�ɍs���Ă悢


\bigskip \noindent 
{\bf �P�O���P�X���̍u�`}

�E�x�N�g����Ԃɂ�����ꎟ�Ɨ��A�ꎟ�]���̊T�O��p�������_

�E�L�������x�N�g����Ԃ̒�`�Ɗ��̑���

�E�����̒�`


\bigskip \noindent 
{\bf ���K���} �@�ȉ��ł� $V$ �����x�N�g����ԂƂ���B

\medskip
\noindent
{\bf [3] } 
${\ve v}_1,\dots,{\ve v}_r\in V$ ���ꎟ�Ɨ��ȃx�N�g���Ƃ���B
${\ve w}\in V\setminus S[{\ve v}_1,\dots,{\ve v}_r]$ �ł����
${\ve v}_1,\dots,{\ve v}_r, {\ve w}$ �͈ꎟ�Ɨ��ł��邱�Ƃ������B

\medskip

\noindent
{\bf [4] } 
$n$ ���ȉ��̑������̂Ȃ��x�N�g����� $P_n$ �̎��������߂�B

\medskip
\noindent
{\bf [5] } 
$3\times3$ �s��S�̂̂Ȃ��W�� $M_3(\R)$ �͍s��̘a����ђ萔�{�Ɋւ��ăx�N�g����ԂɂȂ�B $M_3(\R)$ �̊�����g�^�� $M_3(\R)$ �̎��������߂�B

\medskip
\noindent
{\bf [6] } 
$W$ �� $V$ �̕�����ԂƂ���Ƃ� $\dim W\le \dim V$ �ł��邱�Ƃ������B�܂�  $\dim W= \dim V$ �ł���� $W=V$ �ƂȂ邱�Ƃ������B
(�藝�R���g���ƊȒP)

\medskip
\noindent
{\bf [7] } $\R^3$ �̃x�N�g�� $\ve x$ �̐����� $x_1,x_2,x_3$ �Ə������̂悤�� $\R^3$ �̕����W�����l����
$$
W_1=\{{\ve x}\in\R^3: x_1+2x_2+x_3=0\}
$$ 
$$
W_2=\{{\ve x}\in\R^3: x_1+x_2+2x_3=0\}
$$ 

(1) $\ve a=\left(
 \begin{array}{c}-3 \\1\\1
 \end{array}
\right)\in \R^3$ �� $W_1\cap W_2$ �̊��ł��邱�Ƃ������B

(2) $i=1,2$ �ɑ΂��� $W_i$ �̃x�N�g�� ${\ve w}_i$ ��I��
${\ve a},{\ve w}_i$ �� $W_i$ �̊��ƂȂ�悤�ɂ���B

(3) ${\ve a},{\ve w}_1, {\ve w}_2$ �� $\R^3$ �̊��ɂȂ邱�Ƃ������B

\newpage

{\large ���w IV  �@2001�N10��26���z�t}�@�S���@���n����


\bigskip \noindent 
{\bf �P�O���Q�U���̍u�`}

�E ���`�ʑ��̒�`�A���̗�

�E���x�N�g����Ԃ̊Ԃ̐��`�ʑ��͍s��ƃx�N�g���̐ςƂ��ĕ\�����

�E���`�ʑ��̘a�A�X�J���[�{�A�����A�t�͍s��̘a�A�X�J���[�{�A�ρA�t�ɑΉ�����

\bigskip \noindent 
{\bf ���K���} 

\medskip
\noindent
{\bf [8] } 
$\R^1$ ���� $\R^3$ �ւ̎ʑ� $f(x)=\left(
 \begin{array}{c}
 2x \\4x\\a-x
 \end{array}
\right)$
�����`�ƂȂ邽�߂� $a$ �Ɋւ�����������߂�B

\medskip
\noindent
{\bf [9] }
$f:\R^4\to\R^2$ �� $f( \left(
 \begin{array}{c}
 x \\ y\\ z\\w
 \end{array}
\right))=\left(
 \begin{array}{c}
 2x+y \\ x-3y
 \end{array}
\right)$
�ɑ΂��� $f=L_A$ �ƂȂ�s�� $A$ �����߂�B

\medskip
\noindent
{\bf [10] } (���̎咣�͍u�`�ł͂قږ��炩���Ƃ��ďؖ����Ȃ��܂�������x�m���߂ĉ������D)

\medskip

(1) ���`�ʑ� $f,g$ �̘a $f+g$ �͐��`�ʑ��ɂȂ�B


(2) ���`�ʑ� $f$ ���t�ʑ� $f^{-1}$ �����Ă� $f^{-1}$ �����`�ʑ��ł���B

\medskip
\noindent
{\bf [11] } 
���`�ʑ� $f:\R^n\to\R^n$ ������ $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ �ɑ΂��� $f({\ve e}_j)=\lambda_j{\ve e}_j$, $j=1,\dots, n$, �𖞂����Ƃ� $f=L_A$ �ƂȂ�s�� $A$ �����߂�B�i�藝6�̏ؖ�������j

\medskip
\noindent
{\bf [12] } 
���̐��`�ʑ��͓��^�ʑ����H
$$(1) \ f: \left(
 \begin{array}{c}
 x \\ y
 \end{array}
\right)\mapsto\left(
 \begin{array}{c}
 2x-y \\ y
 \end{array}
\right),\qquad
(2)\  f: \left(
 \begin{array}{c}
 x \\ y\\z
 \end{array}
\right)\mapsto\left(
 \begin{array}{c}
 x+2y+3z \\ -y\\2y
 \end{array}
\right)$$
�i�藝 9 ��p����΂悢�j

\newpage

{\large ���w IV  �@2001�N11��9���z�t}�@�S���@���n����


\bigskip \noindent 
{\bf �P�P���X���̍u�`}

�E���`�ʑ��̑���ԂƊj���

�E���`�ʑ��̊K���i������Ԃ̎����j�͑Ή�����s��̊K���ɓ�����

�E�K���Ɗj��Ԃ̎����̊Ԃ̊֌W���A�ʑ��̍����ƊK���̊֌W

\bigskip \noindent 
{\bf ���K���} 

\medskip
\noindent
{\bf [13] }
���`�ʑ��̊j��Ԃ͕�����Ԃł��邱�Ƃ��m���߂�B

\medskip
\noindent
{\bf [14] }
$f:\R^4\to\R^2$ �� $f( \left(
 \begin{array}{c}
 x \\ y\\ z\\w
 \end{array}
\right))=\left(
 \begin{array}{c}
 2x+y \\ x-3y
 \end{array}
\right)$
�ƒ�`����B

(1) Ker $f$, Im $f$ �����߂�B

(2) $\dim$ Ker $f$ �� rank $f$ �����߂�B

�@�@ (�藝11��p����Έ���������v�Z����΂悢���Ƃ�������)

\medskip
\noindent
{\bf [15] } $C^\infty(I)$ ���J��� $I=(0,1)$ ��̖���������\�Ȋ֐��̂Ȃ��W���Ƃ���B

(1) $C^\infty(I)$ �� $I$ ��̘A���֐��̂Ȃ��x�N�g����� $C(I)$ �̕�����Ԃł��邱�Ƃ������B
( $C(I)$ �͗L�������x�N�g����Ԃł͂Ȃ��̂Ŗ{�����̍u�`�̑Ώۂł͂Ȃ����������͗�O�Ƃ��ĉ������B)

(2) $f\in C^\infty (I) $ �ɑ΂��� $D(f):=f'$ �Ƃ����� $D:C^\infty (I)\to C^\infty (I)$
�͐��`�ʑ��ł��邱�Ƃ��m���߂�B������ $f'$ �� $f$ �̓��֐��ł���B

(3) Im $D$ ����� Ker $D$ �����߂�B


\medskip
\noindent
{\bf [16] } 
$f,g :V\to W$ ���̐��`�ʑ��Ƃ���Ƃ�
$$
\text{rank}(f+g)\le \text{rank}\ f+\text{rank} \ g
$$
�����藧���Ƃ������B

\newpage

\def\rank{\text{rank}}



{\large ���w IV  �@2001�N11��16���z�t}�@�S���@���n����


\bigskip \noindent 
{\bf �P1��16���̍u�`}

�E ���`�ʑ��̍����ƊK���̊֌W

�E ���`�ʑ��ƘA���ꎟ�������̊֌W�F���̑��݂͑��ɓ����Ă��邩�ǂ����Ŕ���ł���D���̎��R�x�͊j��Ԃ̎����Ƃ��ĕ\�����B

�E�ŗL�l�ƌŗL�x�N�g���̒�`�B�ŗL�l�͓����������̉��ɂȂ��Ă���B

\bigskip \noindent 
{\bf ���K���} 

\medskip
\noindent
{\bf [14] } ���� $a,b$ �ɑ΂���
$A=\left(
 \begin{array}{cc}
 1&4\\ a&b
 \end{array}
\right)
$,
$B= \left(
 \begin{array}{cc}
 1&2\\ -2&4
 \end{array}
\right)
$ �Ƃ����B
$$
\text{rank}(AB)=\min (
\text{rank}A,
\text{rank}B)
$$
�������B

\medskip
\noindent
{\bf [15] (����)}
$A$ �� $n\times m$ �s��A$B$ �� $m\times l$ �s��Ƃ���Ƃ�
$$
\rank A+\rank B-m\le \rank AB
$$
�����藧���Ƃ������B

\medskip
\noindent
{\bf [16] } 
$M(n,n)$ �� $n$ �������s��̂Ȃ��x�N�g����ԂƂ���B
$A=(a_{ij})$ �ɑ΂��� $Tr(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$ 
�Ƃ������`�ʑ� $Tr: M(n,n)\to \R$ ���`����B$Tr$ �̑���ԂƊj��Ԃ̎��������߂�B


\medskip
\noindent
{\bf [17] }
$A=\left(
 \begin{array}{cccc}
 0&0&0&a_1
 \\
  1&0&0&a_2
 \\
  0&1&0&a_3
 \\
  0&0&1&a_4
 \end{array}
\right)
$ �̓��������� $\Delta_A(x)$ �����߂�B

\newpage


{\large ���w IV  �@2001�N11��30���z�t}�@�S���@���n����


\bigskip \noindent 
{\bf �P�P���R�O���̍u�`}

�E �s��̑Ίp���\�ł���K�v�\�������͌ŗL�x�N�g���Ŋ�ꂪ���邱��

�E ���قȂ�ŗL�l�̌ŗL�x�N�g���͈ꎟ�Ɨ��ł���

�E �Q�~�Q�s�񂪑��قȂ��̌ŗL�l�����ĂΑΊp���\


�E �Q�~�Q�s��̌ŗL�l����̏ꍇ�C�Ίp���\�Ȃ̂͊��ɑΊp�s��ɂȂ��Ă���ꍇ�Ɍ���D

�E�Q�~�Q�s��̃W�����_���W���`

\bigskip \noindent 
{\bf ���K���} 

\medskip
\noindent
{\bf [19] } �s�� $
 A=\left(
 \begin{array}{cc}
 1&2\\ 4&3
 \end{array}
\right)
$ �ɑ΂��� $P^{-1}AP$ ���Ίp�s��ɂȂ� $P$ �� (���) ���߂�D
�܂��C���̕\����p���� $A^n$ �����߂�D

\medskip

\noindent
{\bf [20] } ���̍s��͑Ίp���\���ǂ������ׂ�D
$$
 A=\left(
 \begin{array}{cc}
 5&-2\\ 2&1
 \end{array}
\right)
,
\qquad
B= \left(
 \begin{array}{cc}
 5&6\\ 10&8
 \end{array}
\right)
$$

\medskip
\noindent
{\bf [21] }
$A=\left(
 \begin{array}{cc}
 a&b\\ c&d
 \end{array}
\right)$  �̓����������� $\Delta_A(x)=x^2+c_1 x+c_2$ �Ƃ����D

(a) $c_1=a+d$, $c_2=|A|$ �ł��邱�Ƃ��m���߂�D

(b)
$\Delta_A(A)=A^2+c_1A+c_2 I_2=O$ �ł��邱�Ƃ������D
(��ʂ� $n\times n$ �s��ɑ΂��Ă� $\Delta_A(A)=O$ �����藧�D
������n�~���g���E�P�C���[�̒藝�Ƃ����D���Ԃ�����΍u�`�̒��ŏؖ�����D)

\medskip
\noindent
{\bf [22] }
$A=\left(
 \begin{array}{cc}
\cos x&\sin x\\ -\sin x&\cos x
 \end{array}
\right)$  �́i���f�j�ŗL�l�ƌŗL�x�N�g�������߂�D


\medskip
\noindent
{\bf [23] }
$A=\left(
 \begin{array}{cc}
1&1\\ 0&1
 \end{array}
\right)$  �ɂ��� $S_n=A+A^2+\cdots+A^n$  �����߂�D

\newpage


{\large ���w IV  �@2001�N12��7���z�t}�@�S���@���n����


\bigskip \noindent 
{\bf �P�Q���V���̍u�`}

�E �R�~�R�s��̑Ίp���F�R�̑��قȂ�ŗL�l�����ĂΑΊp���\

�E �ŗL��Ԃ̎����ƌŗL�l�̏d���x�̊֌W

�E �x�N�g����Ԃ̒��a


�E $n\times n$ �s�񂪑Ίp���\ �� $\C^n$ ���ŗL��Ԃ̒��a�ɂȂ�

�E�R�~�R�s��̑Ίp���F�ŗL�l���Q�̏ꍇ

\bigskip \noindent 
{\bf ���K���} 

\medskip
\noindent
{\bf [24] } ���̍s��̌ŗL�l�ƌŗL��Ԃ̊������߁A���̑Ίp���\���𒲂ׂ�B
$$
 A=\left(
 \begin{array}{ccc}
 0&-1&0\\ 0&0&-1\\1&0&0
 \end{array}
\right)
\qquad
 B=\left(
 \begin{array}{ccc}
 1&4&-8\\ -1&-3&5\\0&0&-3
 \end{array}
\right)
$$
$$
 C=\left(
 \begin{array}{ccc}
 0&1&0\\ 0&0&1\\0&0&0
 \end{array}
\right)
$$
\medskip

\noindent
{\bf [25] }
 $U,V,W$ �� $\C^n$ �̕�����ԂƂ���B$U=V\oplus W$ (���a) �ł���ΔC�ӂ� $\ve{u}\in U$ �� $\ve{v}\in V$ �� $\ve{w}\in W$  
�̘a $\ve{v}+\ve{w}$ �Ƃ��Ĉ�ӓI�ɕ\����邱�Ƃ������B

\medskip

\noindent
{\bf [26] }
$B,C,D$ �� $n$ �������s��Ƃ���Ƃ�  $2n$ �������s��
$$
A =\left(
 \begin{array}{cc}
 B&C\\ O&D
 \end{array}
\right)
$$
�̓����������� $\Delta_A(x)=\Delta_B(x)\Delta_D(x)$ �𖞂������Ƃ������B

\medskip

\noindent
{\bf [27] }
$A$ �� $n$ �������s��, $P$ �� $n$ �������s��Ƃ���Ƃ�
$A$ �� $P^{-1}AP$ �̓����������͈�v���邱�Ƃ������B

\medskip

\noindent
{\bf [28] }
$A$ �̌ŗL�l�� (�d���x�����߂�) $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ �Ƃ���Ƃ�
$|A|=\lambda_1\cdots\lambda_n$ �������B
\newpage

{\large ���w IV  �@2001�N12��14���z�t}�@�S���@���n����


\bigskip \noindent 
{\bf �P�Q���P�S���̍u�`}

�E�ŗL�l�̏d���x�ƌŗL��Ԃ̎����̊֌W

�E�R�~�R�s��̑Ίp���\���̒��ו�

�E�s��̎O�p���ƃn�~���g���E�P�C���[�̒藝

\bigskip \noindent 
{\bf ���K���} 

\medskip
\noindent
{\bf [29] } 
$n$ �������s�� $A$ �����鎩�R�� $m$ �ɑ΂��� $A^m=I_n$ �𖞂����Ƃ���B
$A$ �̌ŗL�l�� $1$ �� $m$ �捪�ł��邱�Ƃ������B

\medskip

\noindent
{\bf [30] }(����)
$n$ �������s�� $A$ �� $A^2=A$ �𖞂����Ƃ���B���������B

(a) $A$ �̌ŗL�l�� $0,1$ �ł���B

(b) $\C^n=\ker A \oplus \text{Im} A$

(c) $A$ �͑Ίp���\�B

\medskip

\noindent
{\bf [31] }
$A$, $B$ �� $n$ �������s��Ƃ���Ƃ� $AB$ �� $BA$ �̌ŗL�l�͈�v���邩�H
$A$ �������s��̂Ƃ��͂ǂ����H

\medskip

\noindent
{\bf [32] }
�s�� $
A =\left(
 \begin{array}{ccc}
 \lambda_1&*&*\\ 
 0& \lambda_2&*\\
 0&0& \lambda_3
 \end{array}
\right)
$
�𑽍��� $f(x)$ �ɑ�����ē�����s�� $f(A)$ �̌ŗL�l�� $f( \lambda_1),
f( \lambda_2),f( \lambda_3)$ �ł��邱�Ƃ������B

\medskip

\noindent
{\bf [33] }
$n$ �������s�� $A=(a_{ij})$ �ɑ΂��� $tr(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$ 
�Ƃ����i����� $A$ �̃g���[�X�Ƃ����j�B
$A$ �̌ŗL�l�� (�d���x�����߂�) $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ �Ƃ���Ƃ�
$tr(A)=\lambda_1+\dots+\lambda_n$ �ł��邱�Ƃ������B

\medskip

\noindent
{\bf [34] }
$n$ �������s�� $A$ �̓�����������
$\Delta_A(x)=(x-\lambda_1)^{m_1}\cdots(x-\lambda_r)^{m_r}$
�Ƃ���D������  $\lambda_1,\dots,\lambda_r$ ��
���قȂ�ŗL�l�ł���D
���̂Ƃ� $A$ ���Ίp���\�ł���K�v�\��������
$\dim E(\lambda_i)=m_i$, $i=1,2,\dots,r$ �ł��邱�Ƃ������D

\newpage

\def\prob#1{\medskip\par \noindent {\bf [#1] }}


{\large ���w IV  �@2001�N12��21���z�t}�@�S���@���n����


\bigskip \noindent 
{\bf �P�Q���Q�P���̍u�`}

�E���ς̒�`�Ɗ�{�����i�s�^�S���X�̒藝�C�V�������c�̕s�����C�O�p�s�����j

�E�x�N�g���̂Ȃ��p�x

�E���K�����n�i�V���~�b�g�̒������@�j

�E�������




\bigskip \noindent 
{\bf\large ���|�[�g���}�@

�ȉ��̖�肩��T��ȏ���𓚂� �P���P�P���܂��͂P���Q�T���̍u�`�̏I�����ɒ�o���邱�Ɓi�P���Q�X���i�΁j�ɌJ��グ�����������s���܂��j�D���|�[�g�ƌ����ɗ�����z�t����D

\prob{R1} ���`�ʑ�
$f: \R^4\to \R^3$ ��
$$
 f(\left(
 \begin{array}{c}x\\ y\\z\\w
 \end{array}
\right))=\left(
 \begin{array}{c}2x-y+5z-3w\\ 3x+y-3z+2w\\5x-y-7z-5w
 \end{array}
\right)
$$
�ɂ���`����Dker$f$ ����� Im $f$ �̊���^����D

\prob{R2} $V$ �� $\R^n$ �̕�����ԂƂ���D
$\ve{v}_1,\ve{v}_2\in V$ ���ꎟ�Ɨ��ł��邪,
�C�ӂ� $\ve{w}\in V$ �ɑ΂��� $\ve{v}_1,\ve{v}_2, \ve{w}$
�͈ꎟ�]���ł���Ƃ���D���̂Ƃ� $\ve{v}_1,\ve{v}_2$ �� $V$
�̊��ł��邱�Ƃ������D

\prob{R3} $W_1$, $W_2$ �� $\R^n=W_1+W_2$ �ƂȂ� $\R^n$ �̕�����ԂƂ���D$\dim W_1+\dim W_2=n$ �̂Ƃ��C����т��̂Ƃ��Ɍ���
$ \R^n=W_1\oplus W_2$ �����藧���Ƃ������D

\prob{R4} $A,B$ �� $n$ �������s�� $AB=O$ �𖞂������̂Ƃ���D
���̂Ƃ� $\rank A+\rank B\le n$ �ł��邱�Ƃ������D

\prob{R5} $f:\R^n\to\R^m$ ����`�ʑ��Ƃ���D$V$ �� $\R^n$ �̕�����ԂƂ���Ƃ� $f(V)$ �� $\R^m$ �̕�����Ԃł��� $\dim f(V)\le \dim V$ �����藧���Ƃ������D

\prob{R6} $A=(a_{ij})$ �� $n$ �������s��D���̓����������� 
$$
\Delta_A(x)=|xI_n-A|=x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_n
$$
�Ƃ���D$\Delta_A(x)=0$ �̍����d���x�����߂� $\lambda_1,\dots,
\lambda_n$ �Ƃ���Ƃ����������D

(a) $-a_1=\text{trace}A=\lambda_1+\cdots+\lambda_n$ ������ $\text{trace}A=a_{11}+\cdots+a_{nn}$.

(b) $(-1)^na_n=|A|=\lambda_1\cdots\lambda_n$.

\prob{R7}
[R6]�Ɠ����L���̂��� $\text{trace}A^k=\lambda_1^k+\cdots+\lambda_n^k$ 
���S�Ă̎��R�� $k$ �ɑ΂��Đ��藧���Ƃ������D

\prob{R8}
���̍s��͑Ίp���\���H
$$
\left(\begin{array}{ccc}
 1&0&1\\ 1&1&0\\2&0&2
 \end{array}\right),
 \quad
\left(\begin{array}{ccc}
 3&1&0\\ -2&0&-1\\1&1&3
 \end{array}\right),
 \quad\left(\begin{array}{ccc}
 1&0&0\\ 0&-1&0\\0&1&1
 \end{array}\right)
$$

\prob{R9}
$
A=\left(\begin{array}{ccc}
 1&0&0\\ 1&1&0\\0&1&-1
 \end{array}\right)$ 
 �ɂ��ăn�~���g���E�P�[���[�̒藝��p���� $A^{60}$ �����߂�D
 ($x^{60}$ �� $\Delta_A(x)$ �Ŋ������]��Ƃ��Ă�����񎟑�������
 $A$ ��������΂悢�D)
 \prob{R10}
$n$ �������s��  $A$ �̑S�Ă̌ŗL�l�� $0$ �ł����
 $A^n=0$ �ł��邱�Ƃ������D
 
 
\prob{R11}(��) $A$ �� $n$ �������s,
$A$ �̒�`������`�ʑ��� $f_A:\C^n\to\C^n$ �Ƃ���D
$A$ ���Ίp���\�ł���K�v�\��������
$f_A(V)\subset V$ �𖞂��� $\C^n$ �̔C�ӂ̕������ $V$ �ɂ�������
$\C^n$ �̕������ $W$ �� 
$$f_A(W)\subset W\text{�@���@}
\C^n=V\oplus W$$
 �ł�����̂����݂��邱�Ƃł��邱�Ƃ������D


\prob{R12}(��) $A$ �� $n$ �������s,
$A$ �̒�`������`�ʑ��� $f_A:\C^n\to\C^n$ �Ƃ���D
$A$ ���Ίp���\�ł���K�v�\��������
$f_A(V)\subset V$ �𖞂��� $\C^n$ �̔C�ӂ̕������ $V$ �ɂ�������
$\C^n$ �̕������ $W$ �� 
$$f_A(W)\subset W\text{�@���@}
\C^n=V\oplus W$$
 �ł�����̂����݂��邱�Ƃł��邱�Ƃ������D
\newpage

{\large ���w IV  �@2002�N1��11���z�t}�@�S���@���n����


\bigskip \noindent 
{\bf �P���P�P���̍u�`}

�E�������

�E�����s��Ɠ��ς̊֌W

�E�G���~�[�g���ςƃ��j�^���s��

�E�G���~�[�g�s��i�Ώ̍s��j�̃��j�^���s��i�����j�ɂ��Ίp��







\bigskip \noindent 
{\bf ���K���}�@


\prob{35}
$\ve{v},\ve{w}\in\R^n$ �ɑ΂��� 
$\|\ve{v}+\ve{w}\| ^2-\|\ve{v}-\ve{w}\| ^2=4(\ve{v},\ve{w})$
�������B

\prob{36}
$\ve{v}_1= \left(\begin{array}{c}
-1\\ 0\\1\\ 0
 \end{array}\right)
 $,
$\ve{v}_1= \left(\begin{array}{c}
0\\ 1\\0\\ -1
 \end{array}\right)
 $,
$\ve{v}_1= \left(\begin{array}{c}
2\\ 0\\ -1\\ -1
 \end{array}\right)
 $,
$\ve{v}_1= \left(\begin{array}{c}
1\\ 1\\1\\ 0
 \end{array}\right)
 $ ���V���~�b�g�̕��@�Ő��K����������B
 
  
\prob{37} $\ve{v}_1,\dots,\ve{v}_s$ ���݂��ɒ������� $s$ �̃x�N�g���Ƃ����
�� $\ve{v}_1,\dots,\ve{v}_s$ �͈ꎟ�Ɨ��ł��邱�Ƃ������B

\prob{38} 2 �������s��͂��� $\theta$ �ɑ΂���
$\left(\begin{array}{cc}
\cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos \theta
 \end{array}\right)$ �܂���
 $\left(\begin{array}{cc}
\cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & -\cos \theta
 \end{array}\right)$ �̌`�ɕ\����邱�Ƃ������B
 
 \prob{39} $V,W$ �� $\R^n$ �̕�����ԂƂ���Ƃ�
 $(V+W)^\bot=V^\bot\cap W^\bot$ 
 �������B

 \prob{40} 
 ���̍s�񂪒����s��ƂȂ�悤�� $a,b,c$ �̒l���߂�B
 $$\left(\begin{array}{ccc}
0 & 1/\sqrt{2}& a\\
2/\sqrt{6} & -1/\sqrt{6} & 1/\sqrt{6}\\ 
b& c  & 1/{\sqrt{3}} 
 \end{array}\right)
 $$
 
  
 \prob{41} $n$ �����Ώ̍s�� $A$ ����`������`�ʑ�
 $f_A:\R^n\to \R^n$ ���l����B���̂Ƃ� $(\ker f_A)^\bot=\text{Im} f_A$
 �������B 
 
 \end{document}
 \newpage
 
{\large ���w II �������� �@2001�N9��5��}�@�S���@���n����

\bigskip\noindent
�g\underline{�@�@�@}�ԍ�\underline{�@�@�@�@�@�@�@�@�@}
���@��\underline{�@�@�@�@�@�@�@�@�@�@�@�@}

(���S���łS��A�z�_�͊e 25\%�@���ʂɂ���肪����܂�)



\bigskip
\noindent
{\bf [1] } 
$n$ �������s�� $A,B$ �ɑ΂��Ď��̖���͐��������H
���������͏ؖ����A�Ԉ���Ă���ꍇ�͔����������B

(a) $A$, $B$ ���Ώ̍s��ł���� $AB$ ���Ώ̍s��ł���B


(b) $A$, $B$ �������s��ł���� $AB$ �������s��ł���B


\bigskip
\noindent
{\bf [2] } 
$\ve a_1, \ve a_2\in\R^n$ �ɑ΂���
$\ve b_1=\ve a_1+\ve a_2$, $\ve b_2=\ve a_1-\ve a_2$ �Ƃ����Ƃ�
$S[\ve a_1, \ve a_2]=S[\ve b_1, \ve b_2]$ �������B������
$S[\ve a_1, \ve a_2]=\{x_1\ve a_1+x_2\ve b_2\in\R^n: x_1,x_2\in\R\}$
($\ve a_1, \ve a_2$ �Œ����镔�����) �ł���B


\newpage

{\large ���w II �ǎ��� �@2001�N11��}�@�S���@���n����

\bigskip
\noindent ���S���łT��A�z�_�͊e 20\% �Ƃ���D

\bigskip
\noindent
{\bf [1] } $n\times n$ �s�� $A=(a_{ij})$ �̍s�񎮂̒�`���q�ׁC���̒�`�Ɋ�Â�
�㔼�O�p�s�� (���Ȃ킿 $i>j$ �̂Ƃ� $a_{ij}=0$ �ƂȂ�s��) �̍s�񎮂����߂�D


\bigskip
\noindent
{\bf [2] } ���̍s�񎮂����߂�D

(a) $\left|
 \begin{array}{cccc}
4 & 3 & -1 & 0 \\
   2 & 1 &3 & 1\\
   1 & 0 & 2 &3 \\
  3 & 2 & 1 & 4
 \end{array}
\right| $ 
�@�@�@(b)�@
$\left|
 \begin{array}{ccccc}
x& 0 & 0 & 0 &a_0\\
   -1& x & 0 & 0 &a_1\\
     0 & -1 & x &  0 & a_2\\
     0& 0 & -1 &x  &a_{3}\\
    0 & 0 &0 &  -1&a_{4}
 \end{array}
\right|$


\bigskip
\noindent
{\bf [3] } $A$ �� $n\times n$ �s��C$B$ �����̗]���q�s��Ƃ���D

(a) 
$|B|=|A|^{n-1}$ �ł��邱�Ƃ������D

(b) $B$ �̗]���q�s��� $|A|^{n-2}A$ �ł��邱�Ƃ������D


\bigskip
\noindent
{\bf [4] } 
 $A, B, C$ �� $n\times n$ �s��C$O$ �� $n\times n$ ��s��Ƃ���Ƃ�
$\left|\begin{array}{cc}
 O & B \\
 A & C
 \end{array}
\right|=(-1)^n |A| \cdot | B|$ �����藧���Ƃ������D

\bigskip
\noindent
{\bf [5] } $a,b,c$ ���قȂ鐔�Ƃ���Ƃ��A���ꎟ������
$$ \left\{
 \begin{array}{ccc}
 x +y +z&=&1 \\
ax +b y +c z&=& d \\
a^2x +b^2y + c^2 z &=&d^2
 \end{array}\right.
 $$ 
 �̉����N���[�����̌�����p���ċ��߂�D
 
 \newpage

{\large ���w IV�@���������@2002�N1��29��}�@�S���@���n����


\bigskip
\noindent
���͂S��C�𓚂̏��Ԃ͎��R�ł��D

\bigskip
\noindent
{\bf [1] } ���`�ʑ� $f\colon\R^4\to\R^3$,
 $f\left(
\!\!\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
w
\end{pmatrix}
\!\!\right)=\begin{pmatrix}
x+y\\
y+z\\
z+w
\end{pmatrix}$,
 �ɑ΂���:
 
 (a)  Ker $f$ �̊���^����D
  
  (b) rank $f$ �����߂�D
 
\bigskip

\noindent
{\bf [2] } ���̍s�� $A$ �͑Ίp���\�����肹��. �܂��\�ł���ꍇ�� $P^{-1}AP$ ����
�p�`�ɂȂ鐳���s�� $P$ �����߂�.
$$
(a) \quad A=\begin{pmatrix}
2 && 1 && -1\\
0 && 3 && 0\\
0 && 2 && 1
\end{pmatrix}, \qquad (b)
 \quad A=\begin{pmatrix}
1 && 4 && -8\\
-1 && -3 && 5\\
0 && 0 && -3
\end{pmatrix} 
$$


\bigskip
\noindent
{\bf [3] } $f:\R^n\to\R^m$, $g:\R^n\to\R^m$ ����`�ʑ��C  $\ve{v}_1,\dots,\ve{v}_n$ �� $\R^n$ �̊��Ƃ���D �S�Ă� $i$ �ɑ΂��� $f(\ve{v}_i)=g(\ve{v}_i)$ �����藧�Ă� $f=g$ �ł��邱�Ƃ������D

%(b) $f(\ve{v}_1), \dots,f(\ve{v}_n)$ ���ꎟ�Ɨ��ł���� $f$ �͐����ł��� (���� $f$ �̋t�ʑ������݂���) ���Ƃ������D 

\bigskip
\noindent
{\bf [4] } ��łȂ��x�N�g�� $\ve{v}=\begin{pmatrix}
v_1\\  \vdots \\ v_n
\end{pmatrix},\ve{w}=\begin{pmatrix}
w_1\\ \vdots \\ w_n
\end{pmatrix}\in\R^n$ �ɑ΂��� $n$ �������s�� $A=(a_{ij})$ �� $a_{ij}=v_iw_j$ �ɂ���Ē�`����D

(a) $A$ �̌ŗL�l�����߂�D

(b) $A$ ���Ίp���\�ɂȂ邽�߂̕K�v�\�����������߂�D

(c) $A$ �������s��ɂ���đΊp���\�Ȃ̂͂ǂ̂悤�ȂƂ����D

\noindent ([4] �̃q���g�F$\ve{v}$ �� $\ve{w}$ �̓��ςɒ���)
 
\end{document}