\documentclass[a4j, 12pt]{jarticle}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%---------------------Page Format----------------------
\oddsidemargin=0truecm
\textwidth=16truecm
%---------------------------------------------------------------
\def\l{\lambda}
\def\e{\varepsilon}
\def\d{\delta}

\newcommand{\al}{{\alpha}}
\newcommand{\bt}{{\beta}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}

\begin{document}
\begin{center}
{\large ���wI���K�𓚗�@��W��@2007�N10��16���o�蕪} 

\smallskip

�S�� ���n����CTA �O�p �~
\end{center}

\bigskip

\noindent{\bf [1]}
��ɗL�E�̉�����$\sup A\equiv u<\infty$, 
$\sup B\equiv v<\infty$�����݂���B
����̒�`���ȉ������藧�B
\begin{eqnarray*}
&(i)& \forall x\in A, \quad x\le u. \\
&(ii)&\forall \e >0, \quad \exists x\in A, 
\quad s.t. \quad x>u-\e.\\
&(iii)&\forall y\in B, \quad y\le v.\\
&(iv)&\forall \e >0, \quad \exists y\in B, 
\quad s.t. \quad y>v-\e.
\end{eqnarray*}
 
(1) (i)���
$\forall x\in A$, $ax\le au$�B 
�܂�$\forall \e>0$�ɑ΂��āA(ii)���
$\exists x\in A$, s.t. $x>u-\frac{\e}{a}$�B 
���Ȃ킿$ax>au-\e$�B 
�����荶�ӂ�$\sup$��$au$�ɓ������B

\smallskip

(2) (i), (iii)���
$\forall x\in A$, 
$\forall y\in B$, 
$x+y\le u+v$�B
�܂�$\forall \e>0$�ɑ΂��āA(ii), (iv)���
$\exists x\in A$, 
$\exists y\in B$,
s.t. $x>u-\frac{\e}{2}$, 
$y>v-\frac{\e}{2}$�B
���Ȃ킿$x+y>u+v-\e$�B 
�����荶�ӂ�$\sup$��$u+v$�ɓ������B

\smallskip

(3) (i)���
$\forall x\in A$, $-x\ge -u$�B 
�܂�$\forall \e>0$�ɑ΂��āA(ii)���
$\exists x\in A$, s.t. $-x<-u+\e$�B 
�����荶�ӂ�$\inf$��$-u$�ɓ������B

 
\bigskip

\noindent{\bf [2]}  
$\e>0$��C�ӂɂƂ�B���̂Ƃ���l�A���̉�����
$\d>0$�����݂��āA$x,y\in [a,b)$��
$|x-y|<\d$���݂����Ȃ��$|f(x)-f(y)|<\e$�����藧�B

\smallskip

(1) $\{x_n
\}$�͎������鎖���Cauchy��B�䂦��
��Ɠ���$\d$�ɑ΂��āA$N=N(\d)=N(\e)$
�����݂��āA$n,m>N$�Ȃ��$|x_n -x_m |<\d$
���݂����B�䂦��$|f(x_n)-f(x_m)|<\e$�ƂȂ�B
$\e$�͔C�ӂ���������A$\{f(x_n)
\}$��Cauchy��B

\smallskip

(2) (1)��藼�ӂ̋Ɍ��͂��ꂼ�ꑶ�݂���B
$\lim _{n\to\infty} x_n =\lim _{n\to\infty} y_n 
=b$���A�`���Ɠ���$\d$�ɑ΂��āA
$N=N(\d)=N(\e)$
�����݂��āA$n>N$�Ȃ��
$|x_n -b|<\frac{\d}{2}$����
$|y_n -b|<\frac{\d}{2}$���݂����B
���̂Ƃ�$|x_n - y_n |\le |x_n -b|+|y_n -b|
<\d$�B������
$|f(x_n)-f(y_n)|<\e$�B
$\e$�͔C�ӂ���������A
$\lim_{n\to\infty} \{f(x_n)-f(y_n)
\}=0$�ƂȂ��ӂ��]���B

\smallskip

(3) (2)�Ŏ����ꂽ���ʂ̋Ɍ���$\al$�Ƃ����B
$\lim_{x\to b-0} f(x)=\al$�ƂȂ鎖�������B
�����s�����Ɖ��肷��ƁA
${\e}_1 >0$�����݂��āA�C�ӂ�$\d >0$�ɑ΂��āA
$x\in (b-\d, b)$��$|f(x)-\al|\ge {\e}_1 $���݂����悤�Ȃ��̂�
���݂���B���̂Ƃ�
����$\d =\frac{1}{n}$ 
$(n\in\N)$�Ƃ���ƁA
$z_n \in (b-\frac{1}{n}, b)$
�����݂���$|f(z_n)-\al|\ge {\e}_1$���݂����B
$z_n \in (b-\frac{1}{n}, b)$���A
$\lim_{n\to\infty} z_n =b$�ƂȂ�A(2)���
$\lim_{n\to\infty} f(z_n)=\al$�B
����͔C�ӂ�$n$��$|f(z_n)-\al|\ge {\e}_1$
�ƂȂ鎖�ɖ�������B


\bigskip

\noindent{\bf [3]}
\[
f(x)=
\left\{
\begin{array}{cc}
x^2 \sin \frac{1}{x^2} & x\neq 0\\
0 & x=0 
\end{array}
\right. 
\]
�Ƃ���Ə���(1)�`(3)���݂����B
���ہA���K����5��[3]�̂Ƃ���
���l�ɂ���$f$��$\R$��Ŕ����\�B
�܂��A�C�ӂ�$n\in \N$�ɑ΂���
$f'(\frac{1}{\sqrt{2n\pi}})=-\sqrt{8n\pi}$
������$f'$�͔�L�E�B

\smallskip

$f$�̈�l�A�����ɂ��Ď����B
$\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=1$
������A�C�ӂ�$\e>0$�ɑ΂���$K>0$�����݂��āA
$|x|>K$�Ȃ��$|f(x)-1|<\e$���݂����B
���܁A$f$�͘A���䂦���$[-K-1, K+1]$
��ɂ����Ĉ�l�A���ł���B����ď�Ɠ���
$\e>0$�ɑ΂���$\d>0$�����݂��āA
$x,y\in [-K-1, K+1]$��$|x-y|<\d$
���݂����Ȃ��$|f(x)-f(y)|<\e$�ƂȂ�B
�����ŁA���$\d$��$\d \in (0,1)$�ł���Ƃ��Ă悢�B
$x,y\in\R$��$|x-y|<\d$���݂����Ă���Ƃ���ƁA
�u$x,y\in [-K-1, K+1]$�v, �܂��́u$|x|, |y|>K$�v
�̂������Ȃ��Ƃ��������������B
$|x|, |y|>K$�̏ꍇ�ɂ��čl����ƁA
$|f(x)-f(y)|\le |f(x)-1|+|f(y)-1|<2\e$�B
�ȏ���$f$��$\R$��ň�l�A���B


\bigskip

\bigskip

\noindent�E 
[2]�ł�$f$��$x=b$�ɂ����Ă͒�`����Ă��Ȃ��̂ŁA
$\lim_{n\to\infty} f(x_n)=f(
\lim_{n\to\infty} x_n )=f(b)$
�̂悤�ȕό`�͂ł��܂���B

\bigskip

\noindent�E 
[3]��$f$�͑��ɂ����낢��ȗ^�������\�ł��B
�^�����֐����m���ɏ������݂����Ă��鎖�ɂ�
������Ƃ����������K�v�ł��B

\bigskip



\begin{flushright}(�𓚗�쐬�F�O�p)
\end{flushright}

\end{document}