\documentclass[a4j, 12pt]{jarticle}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%---------------------Page Format----------------------
\oddsidemargin=0truecm
\textwidth=16truecm
%---------------------------------------------------------------
\def\l{\lambda}
\def\e{\varepsilon}
\def\d{\delta}

\newcommand{\al}{{\alpha}}
\newcommand{\bt}{{\beta}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}

\begin{document}
\begin{center}
{\large ���wI���K�𓚗�@��V��@2007�N7��3���o�蕪} 

\smallskip

�S�� ���n����CTA �O�p �~
\end{center}

\bigskip

\noindent{\bf [1]}
$x,y$��$f(D)$�̌��ŁA$x<y$�Ȃ���̂Ƃ���B
���̂Ƃ��A�C�ӂ�$w\in (x,y)$�ɑ΂��āA$w\in f(D)$
���������΂悢�B
$x,y$�̗^��������A�K����$u,v\in D$, $u\neq v$�����݂���
$f(u)=x$, $f(v)=y$���݂����Ă���B
����$u,v$�ɑ΂��āA$D$���A���ł��鎖����A
�A���ʑ�$\gamma :[0,1]\to D$��
$\gamma (0)=u$, $\gamma (1)=v$
�ł���悤�Ȃ��̂����݂���B

���܁A$\gamma , f$�͘A�����A����
�����ʑ�$f\circ \gamma$��$[0,1]$����$\R$�ւ̘A���֐��ƂȂ�B
$f\circ\gamma (0)=x$, $f\circ\gamma(1)=y$������A
���Ԓl�̒藝���A��ŗ^����$w$�ɑ΂��āA$f\circ\gamma (a)=w$
���݂����悤��$a\in (0,1)$�����݂���B���̂Ƃ�
$\gamma (a)\in D$, $f(\gamma (a))=w$�䂦�A$w\in f(D)$
�ƂȂ�A$f(D)$�͋�Ԃł���B

 
\bigskip

\noindent{\bf [2]}  
$(x,y)\neq (0,0)$�ɂ����ẮA
$f_x =2x \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 +y^2}}-
\frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} \cos \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}}$
�����݂��āA${\R}^2 \setminus \{(0,0)\}$
��̘A���֐��ɂȂ��Ă���B$f_y$�ɂ��Ă����l�B��������ɑS�����\�B
$(x,y)=(0,0)$�̂Ƃ����l����ƁA
\[
\lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{f(x,y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2 +y^2}}
= \lim_{(x,y)\to (0,0)} \sqrt{x^2+y^2} \sin \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}
=0
\]
���A���_�ɂ����Ă��S�����\�B�܂��A����$f_x (0,0)=f_y (0,0)=0$�B

���ɁA$f$��$C^1$-�֐����ǂ����𒲂ׂ�ɂ�$f_x$, $f_y$�̘A��������
��΂悢���A
\[
\lim_{x\to 0} \{
\lim_{y\to 0} f_x (x,y)
\}
=\lim_{x\to 0} \{2x\sin \frac{1}{|x|} -
\frac{x}{|x|} \cos \frac{1}{|x|}
\} 
\]
�ŉE�ӑ�񍀂̋Ɍ��͑��݂��Ȃ�����$f_x$�͌��_�ŘA���łȂ��B�����
$f$��$C^1$-�֐��łȂ��B

\bigskip

\noindent{\bf [3]}
\begin{eqnarray*}
I(x,y,z)&\equiv&
\left|
\begin{array}{rrr}
f_1 (x) & f_2 (x) & f_3 (x) \\
g_1 (y) & g_2 (y) & g_3 (y) \\
h_1 (z) & h_2 (z) & h_3 (z) 
\end{array}
\right|
\\
&=& f_1 (x) 
\left|
\begin{array}{rrr}
g_2 (y) & g_3 (y) \\
h_2 (z) & h_3 (z) 
\end{array}
\right|
-f_2 (x) 
\left|
\begin{array}{rrr}
g_1 (y) & g_3 (y) \\
h_1 (z) & h_3 (z) 
\end{array}
\right|
+f_3 (x) 
\left|
\begin{array}{rrr}
g_1 (y) & g_2 (y) \\
h_1 (z) & h_2 (z) 
\end{array}
\right|
\end{eqnarray*}
�Ɨ]���q�W�J����ƁA
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial}{\partial x} I(x,y,z)&=&
{f_1}' (x) 
\left|
\begin{array}{rrr}
g_2 (y) & g_3 (y) \\
h_2 (z) & h_3 (z) 
\end{array}
\right|
-{f_2}' (x) 
\left|
\begin{array}{rrr}
g_1 (y) & g_3 (y) \\
h_1 (z) & h_3 (z) 
\end{array}
\right|
+{f_3}' (x) 
\left|
\begin{array}{rrr}
g_1 (y) & g_2 (y) \\
h_1 (z) & h_2 (z) 
\end{array}
\right|
\\
&=&
\left|
\begin{array}{rrr}
{f_1}' (x) & {f_2}' (x) & {f_3}' (x) \\
g_1 (y) & g_2 (y) & g_3 (y) \\
h_1 (z) & h_2 (z) & h_3 (z) 
\end{array}
\right| . 
\end{eqnarray*}
���l��$y,z$�ł��������鎖�ɂ��A
\[
\frac{{\partial}^3}{\partial x \partial y \partial z}
I(x,y,z)=
\left|
\begin{array}{rrr}
{f_1}' (x) & {f_2}' (x) & {f_3}' (x) \\
{g_1}' (y) & {g_2}' (y) & {g_3}' (y) \\
{h_1}' (z) & {h_2}' (z) & {h_3}' (z) 
\end{array}
\right| . 
\]

\bigskip

\noindent{\bf [4]}
$P=(x,y,z)$�Ƃ����B$f$�͑S�����\���A
\[
z- z_0 =f_x (x_0 , y_0) (x-x_0)+f_y (x_0, y_0)(y-y_0)
+\phi (x,y)\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 } 
\]
�Ƃ�����B�A���A$\phi$��$\lim_{(x,y)\to (x_0 , y_0)} \phi (x,y)=0$
���݂����֐��Ƃ���B�����ŁA
\begin{eqnarray*}
|P-P_0|&=&\sqrt{(x-x_0)^2 +(y-y_0)^2 +(z-z_0)^2 },\\
|P-Q|&=&\frac{|f_x (x_0,y_0) (x-x_0)
+f_y (x_0,y_0) (y-y_0) -(z-z_0) |}
{\sqrt{1+{f_x (x_0,y_0)}^2 +{f_y (x_0,y_0)}^2
}} 
\end{eqnarray*}
�ł���A��̎��Ƃ��킹�čl����ƁA
\begin{eqnarray*}
\frac{|P-Q|}{|P-P_0|}
&=&\frac{|f_x (x_0,y_0) (x-x_0)
+f_y (x_0,y_0) (y-y_0) -(z-z_0) |}
{\sqrt{1+{f_x (x_0,y_0)}^2 +{f_y (x_0,y_0)}^2
}
\sqrt{(x-x_0)^2 +(y-y_0)^2 +(z-z_0)^2 }
}\\
&=&\frac{|\phi (x,y)| \sqrt{(x-x_0)^2 +(y-y_0)^2 }}
{\sqrt{1+{f_x (x_0,y_0)}^2 +{f_y (x_0,y_0)}^2
}
\sqrt{(x-x_0)^2 +(y-y_0)^2 +(z-z_0)^2 }
}\\
&\le&|\phi (x,y)|
\to 0 \qquad (P\to P_0)  
\end{eqnarray*}
�ƂȂ��ӂ����藧�B

\bigskip

\bigskip

\noindent�E
[1]�ŁA
�ʑ�$\gamma$��$D���$2$�_��^���邲�Ƃɒ�`�������̂ŁA�ŏ�
����$[0,1]����$D$�ւ́u�悢�ʑ��v$\gamma$��$1$���݂��Ă���
�̂Ƃ͈Ӗ����قȂ�܂��B
�Ȃ��A�𓚗�̒��ł́u�A���ʑ��̍������A���ʑ��v
�̕�����
�ؖ��͏ȗ����܂������A��{�I��$1$�ϐ��֐��̏ꍇ�Ɠ��l�Ɋm���߂��܂��B
($\e -\d$�_�@�ŁA�����̏��������ς�邾���ł��B)

\bigskip

\noindent�E 
[2]�ŁA��ʂɕΔ���$f_x$, $f_y$�����݂��Ă��S�����\���ǂ���
������܂���B$f_x$, $f_y$�����݂��āA���Ȃ��Ƃ��ǂ��炩���A���ł����
�S�����\�ł��B(�t�͕s����)

\bigskip

\noindent�E 
[3]�͂���ʂ�$n\times n$�s���$n$�K�����ł��l�����܂��B
�{���$3\times 3$�̏ꍇ�Ȃ�s�񎮂𒼐ڌv�Z���Ă�����ق�
��Ԃ͂�����܂���B

\bigskip

\noindent�E 
[4]�ŁA�x�N�g��$(f_x (x_0,y_0), f_y (x_0,y_0), -1)$������$L$
�ƒ������Ă��鎖�ɒ��ڂ���΁A$|P-Q|$�̌v�Z�̊m�F�̍ۂɑ������ʂ����ǂ��Ȃ�܂��B

\bigskip

\begin{flushright}(�𓚗�쐬�F�O�p)
\end{flushright}

\end{document}