\documentclass[a4j, 11pt]{jarticle}
\oddsidemargin=0truecm
\textwidth=16truecm

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\def\N{\mathbb N}
\def\Q{\mathbb Q}
\def\R{\mathbb R}
\def\al{\alpha}
\def\bt{\beta}
\def\gm{\gamma}
\def\Gm{\Gamma}

\begin{document}

\begin{center}
{\large ���wI���K�𓚗�@��S��@2007�N5��22���o�蕪} 


�S�� ���n����CTA �O�p �~
\end{center}

\bigskip
���񕪂�2003�N�xTA�̒|������̉���ŁA*�������O�p���⑫���܂����B

\medskip

\noindent{\bf ��P(�����̒��̗L�����̍���)} 

(i) $A\cap A'\not=\emptyset$ �Ɖ��肵�܂��B����� $a<p$ ���� $a\ge p$ �ƂȂ�L���� $a$ �����݂��邱�ƂɂȂ�A$a<a$�ƂȂ�̂Ŗ����ł��B $A\cup A'=\Q$ �ł��邱�Ƃ͎��̂悤�ɂ���΂悢�ł��傤�B�i���ɂ������͂���܂��B�j�܂� $A \subset \Q$,$A' \subset \Q$ �ł�����A$A\cup A'\subset\Q$ �ł��邱�Ƃ��킩��܂��B����A�C�ӂ̗L���� $a$ �� $a<p$ �܂��� $a\ge p$ �̂����ꂩ����𖞂����܂�����A $\Q \subset A\cup A'$ ���킩��܂��B���킹�� $A\cup A'=\Q$ �ƂȂ�܂��B

(ii) �C�ӂ� $a\in A$ �ƔC�ӂ� $a'\in A'$ �ɑ΂��āA$a<p \le a'$ �ł����� $a<a'$ �𓾂܂��B�L�����g���΂����ƊȌ��ɏ����܂��̂ŁA�ϋɓI�Ɏg�����Ƃ������߂��܂��B�i$\forall a \in A, \forall a'\in A'$ �ɑ΂��āA$a<p$ ���� $ p\le a'$ $\therefore a<a'$)

(iii) �C�ӂ� $a\in A$ �����܂��B���� $a$ ���傫�ȗL������ $A$ �ɑ�������̂�������΂悢�킯�ł����A����� $(a+p)/2 $ �Ƃ���΂悢�ł��傤�B�ܘ_���ɂ�����܂��B�i�L�����ɑ΂��Ă͎l�����Z���ł��܂�����A���̂悤�Ȑ����l���邱�Ƃ��o���܂��B�܂��A���ꂪ $a$ ���傫�� $p$ ��菬�������Ƃ��L�����̑召�֌W����킩��܂��B�j�w���@�ł���Ă��ł��܂��B$A$ �ɍő吔�����݂���Ɖ��肵�āA����� $m$ �Ƃ����܂��B$(m+p)/2$ ���l����� $a<(m+p)/2<p$ �����藧���܂��B���̂��Ƃ� $a$ ���傫�ȗL������ $A$ ���Ɍ����������Ƃ��Ӗ����A$a$ �� $A$ �̍ő吔�ł��邱�Ƃɔ����܂��B������̕��@�ŏؖ�����ɂ��Ă��A�u�ӂ��̗L�����̊ԂɗL���������݂���v���Ƃ�������Ǝ����Ȃ���΂����܂���B���̖��ŉ������������̂��͑薼�������Ă���ʂ�ł����ȒP�ɐ������Ă݂܂��B

\noindent  ��X�͗L�����̑��݂␫���i�l�����Z�ŕ��Ă��邱�ƁA�召�֌W���l���邱�Ƃ��ł��邱�Ɓj�݂̂�F�߂���ŁA�u�����v�ƌĂԂɑ����������̂��\���������킯�ł��B���̍\���̂����͂��낢�날��܂����A�����ł́u������ׂ�����(i)(ii)(iii)�𖞂����A�L�����̏W���̃y�A�v�Ƃ��Ē�`������@���Ƃ��Ă��܂��B���̏W���̃y�A�����u�����v�ƌĂԂ��Ƃɂ��܂��B����ł͒P�Ȃ�W���̃y�A�Ȃ̂ŉ�X�����ɃC���[�W����u�����v�Ƃ͒������C�����܂��B�������A�L���������ō���Ă���̂ŁA���̑��݂͖��m�ł��B���Ȃ̂́A���̂����̏W���̃y�A���u�����v�ƌĂԂɑ����������ǂ����ł��B���̒�`�����ł͒P�Ȃ�W���̃y�A�ɉ߂��܂���B�����ŁA���̃y�A���W�߂����̂ɂ��낢��ȁu�\���v�i�召�֌W�A�����Z�A�|���Z�Ȃǂ��낢��j�����邱�ƂŁA�u�����v�ƌĂԂɑ����������w�I���̂����グ�Ă����܂��B�u�\���v������O�ɂ܂��l���Ă����������Ƃ�����܂��B����́u�L�����������Ɋ܂܂�Ă���ׂ��ł���v�Ƃ������Ƃł��B�L�������܂܂Ȃ��u�����v������Ă��S�R����������܂���B�Ƃ��낪�A�u�����v�́u�L�����̏W���̃y�A�v�Ƃ��Ē�`���Ă���̂ŁA�L�����Ƃ��������̐����u�����v�̏W���Ɋ܂܂��킯������܂���B�ǂ�����΂悢�̂ł��傤���H�����͖��P�̒ʂ�ł��B�܂� $p$�Ƃ����L�����ɑ΂��āA���P�ɂ���W���̃y�A$\langle A,A'\rangle$��Ή������܂��B�����āA����$\langle A,A'\rangle$���u�L�����v�ƌĂ�ł�邱�ƂŁA�����̒��ɗL����������Ƃ݂Ȃ��킯�ł��B�u�L�����v�Ƃ��������R�����ɂQ�̎��́i���m�̐��A�W���̃y�A�j��Ή������邱�ƂɂȂ�܂�����A��������Ƒz���܂��B���̂悤�ȓ��ꎋ�͐��w�ł͕p�ɂɏo�Ă��܂��B���͕ςȊ�������ł��傤���A�����Ɋ���܂��B����̉��K���ɂ����ĈȌ�u�L����$p$�v�Ƃ������ꍇ�A����͊��m�Ƃ��Ă���L����$p$���̂��̂̂��ƂȂ̂��A����Ƃ��A�L����$p$�ɖ��P�̕��@�őΉ��������W���̃y�A���u�L����$p$�v�ƌĂ�ł���̂����͂������ʂ��Ă������Ƃ����߂̓��͍���������邽�߂ɕK�v�ł��B�Ⴆ�Ζ��Q��$A$��$A'$�Ɏg���Ă���$a,p,2$�Ƃ��������̂͑O�҂ł����A���R�Ŏg���Ă���L����$p$�Ƃ͌�҂̈Ӗ��ł��B���āA���P�������������A��芸�����A�L�������܂�ł���V�����Ώۂ���ɂ������ƂɂȂ�܂��B���͂܂��P�Ȃ�W���̃y�A�̏W�܂�ł�����A�܂������ƌĂԂɑ�����������܂���B�ȉ��̖��{�Q�l������ʂ��āA���̐V�������w�I�Ώہi�W���̃y�A�j�������ƌĂт����Ȃ�͂��ł��B


\medskip
\noindent{\bf ��Q($\sqrt{2}$�̍���)} �܂������ɑ΂��Ďl�����Z�A�召�֌W�͒�`���Ă��Ȃ��ŁA�u$A'=\{ a\in \Q : a\ge \sqrt 2\}$�Ə�����B�v�ł�������A�u$a$��$a^2=2$�𖞂��������Ƃ���v�Ƃ��������Ƃ͈Ӗ����Ȃ��܂���B���̖��ɓo�ꂷ��$\sqrt 2$�͒P�Ȃ�W���̃y�A�ɂ������O�ł��B

{\bf(a)}\ \  *(i) $A\cap A' \neq\emptyset$�Ɖ��肷��ƁA$a\in A\cap A'$
�����݂��āA$a\notin A'$ ����$a\in A'$�ƂȂ薵������B���ɁA$A,A'\subset
\Q$���$A\cup A' \subset \Q$�B�܂�,
$a\in \Q$�Ƃ���ƁA�u$a\notin A'$�ł����$a\in A$�v�ƂȂ邩��A$a\in A'$
�܂���$a\in A$�ł���B�����$\Q \subset A\cup A'$�B�]����$A\cup A' =\Q$
�ƂȂ�B

*(ii) $a\in A$, $a'\in A'$�Ƃ���Ƃ��A�u$a^2 <2$�܂���$a\le 0$�v
���u$(a')^2 \ge 2$����$a' >0$�v�����藧�B$a\le 0$�̂Ƃ��́A$a\le 0<
a'$�B�܂�$a^2 <2$����$a>0$�̂Ƃ��́A����$a\ge a'$�ł����$2> a^2 \ge
(a')^2 \ge 2$��薵���B�����$a< a'$�ƂȂ�B

(iii)$A$�ɍő吔�����݂��Ȃ����Ƃ������ɂ́A�C�ӂ�$a\in A$�ɑ΂��āA$a<r$�Ȃ�$r\in A$��������΂悢�킯�ł��B

�C�ӂ�$a\in A$�����܂��B$a>0$�̏ꍇ���l����Ώ\���ł��B����$a$�ɑ΂��āA
�\�������ȗL����$d$������$(a+d)^2<2$�Ƃł��A�����$A$�͍ő吔��������
�����Ƃ������܂����A�u$a^2 <2$�̎��A$(a+d)^2<2$�ƂȂ�$d$�͂ǂ�����Ă݂���΂悢���v�Ƃ����^�₪�c��܂��B�ȉ��̂悤�ɂ���Ό������܂��B

$a^2<2,a>0$�ɑ΂���$\displaystyle (a+\frac{1}{n})^2<2$�𖞂������R��$n$��������Ώ\���Ȃ̂ł����A$\displaystyle (a+\frac{1}{n})^2<2 \Leftrightarrow a^2+\frac{2a}{n}+\frac{1}{n^2}<2\Leftrightarrow \frac{2na+1}{n^2}<2-a^2\cdots \ (1)$�ł�����A���ǍŌ�̕s�����𖞂������R��$n$�������邱�Ƃ��ł���΂悢���ƂɂȂ�܂��B$n$��$1<na$�ƂȂ�悤�ɂƂ��$\displaystyle\frac{2na+1}{n^2}<\frac{2na+na}{n^2}=\frac{3a}{n}$�ƂȂ�܂�����A(1)�𖞂������߂ɂ�$\displaystyle\frac{3a}{n}<2-a^2\Leftrightarrow \frac{3a}{2-a^2}<n$�Ƃ���Ώ\���ł��B����$n$��$\displaystyle n>\text{max}\{\frac{1}{a},\frac{3a}{2-a^2}\}$�Ƃ����(1)���A�]���āA$\displaystyle (a+\frac{1}{n})^2<2$�����藧���ƂɂȂ�܂��B

{\bf(b)} �w���@�ŏؖ����܂��B$A'$���ŏ��������Ɖ��肵�A�����$m$�Ƃ��܂��B$m^2\ge2$�ł��B����$m^2>2$�Ƃ���ƁA��Ɠ��l�ɍl�����$\displaystyle (m-\frac{1}{n})^2>2$�𖞂������R��$n$���������Ă��܂��A$m$��$A'$�̍ŏ����ł��邱�Ƃɔ����܂��B�]����$m^2=2$�ƂȂ�܂����A���̂悤�ȗL�����͑��݂��܂���B�]���āA$A'$�͍ŏ����������܂���B�w���@�ɗ���Ȃ��Ă��ł��܂��B�u$A'=\{a\in\Q : a^2>2\text{����} a>0\}$�ł���B�i$a\ge2$�̕������Ƃ��Ă悢�B$a^2=2$�Ȃ�L�����͑��݂��Ȃ�����B�j�C�ӂ�$a\in A'$�ɑ΂��āA����$n\in \N$�����݂��āA$\displaystyle (a-\frac{1}{n})^2>2$�Ƃł���B�����$a$��菬�����L������$A'$�Ɋ܂܂����̂����݂��邱�Ƃ��Ӗ����Ă���B�܂�A$A'$�ɍŏ����͑��݂��Ȃ��B�v

��蕶�ɂ������Ă���ʂ�A���̖��ł킩�������Ƃ́u�ǂ�ȗL�����Ƃ��������Ȃ����������݂���v�Ƃ������Ƃł��B�����̒��ɗL�����������@�͖��P�ɂ���܂������A�����œo�ꂷ��$A'$�͍ŏ����������Ă��邱�Ƃɒ��ӂ��ĉ������B


\medskip
\noindent{\bf ��R�i�����̑召�֌W�j} �����̑召�֌W�́A�������`����L�����̏W���̕�܊֌W�Œ�`���Ă��܂��̂ŁA���̒�`�ɏ]���ďؖ����Ȃ���΂����܂���B�܂������Œ�`���ꂽ�召�֌W�͗L�����̑召�֌W�Ƃ͂���������قȂ�̂Œ��ӂ��K�v�ł��B�܂�A�L�������m�]���̈Ӗ���$a<b$������Ƃ����Ď����Ƃ݂Ȃ����Ƃ��A$a<b$�Ƃ����ۏ؂͂���܂���B�i���ۂɂ͎����ƌ��Ă�$a<b$�����藧���Ƃ������Əؖ��ł��܂��B�j

*{\bf (a)}\ $\al =\langle A, A'\rangle$, $\bt =\langle B, 
B'\rangle$, $\gm =\langle C, C'\rangle$�Ƃ���B�܂��A
$\al\le\bt$����$\bt\le\al$�Ȃ�΁A$A\subset B$����$B\subset A$
���$A=B$�B���̂Ƃ�$A' =B'$�ł�����̂�$\al =\bt$�ƂȂ�B���ɁA
$\al\le\bt$����$\bt\le\gm$�Ȃ�΁A$A\subset B$����$B\subset C$�ƂȂ�A
$A\subset C$�ƂȂ邩��$\al\le\gm$�ƂȂ�B

{\bf (b)}\ $\alpha <\beta $������A$A\subsetneqq B$�]���āA$p\in
B\setminus A$�Ȃ� $p\in\Q$�����݂��܂��B���̗L����$p$�ɑ΂��āA$C
=\{a\in \Q | a<p\}, \ C'=\{a\in\Q | a\ge p\}$�Ƃ���ƁA$\langle
C,C'\rangle$�́u�L�����̐ؒf�v�ƂȂ��Ă��܂��i���P�j�B���̐ؒf�́A�悭
�m���Ă���L����$p$������P�ɂ���悤�ɍ\�������ؒf�Ȃ̂ŁA���̐ؒf��
�Ăсi�����̒��́j�L�����ƌĂԂ��ƂɂȂ�܂����璍�ӂ��܂��傤�B���̐ؒf
$\langle C,C'\rangle$���Ă�$p$�ƕ\�킵�܂��B$\alpha <p<\beta$�ł��邱��
�������΂����܂��ł��B����������ɂ� $A\subsetneqq C \subsetneqq B$����
���΂悢���ƂɂȂ�܂��B�܂��A$A\subsetneqq C$���玦���܂��B$p\notin A$
������$p\in A'$�]���āA�C�ӂ�$a\in A$�ɑ΂���$a<p$�A�����$C$�̒�`����
$a\in C\ \therefore A\subset C$�B�܂��A$B$���ő吔�������Ȃ����ɂ����ӂ�
���$p_0 <p$�ł���悤��$p_0 \in B\setminus A$���Ƃ鎖���ł��āA$p_0 \notin A$
����$p_0 \in C$������$A\neq C$�B���킹��$A\subsetneqq C$�ł�����A�����̑召�֌W�̒�`�ɂ��$\alpha<p$�ł��邱�Ƃ��킩��܂����B$p<\beta$�ƂȂ邱�Ƃ����l�Ɏ����܂��B�ȏ�Ŏ���$\alpha<\beta$�̊ԂɗL����$p$�����݂��邱�Ƃ��킩��܂����B

���̖��Łu�����ɑ召�֌W������A���Ώ̗��A���ڗ�����������v���Ƃ��킩��܂����B���ɂ����˗��u$a\le a$�v�A�S�������u$a\le b$ �܂���$b\le a$�̏��Ȃ��Ƃ�����������v�Ȃǂ��������Ƃ��c���Ă��܂��B�����̂���l�͏ؖ����Ă݂ĉ������B

\medskip
\noindent{\bf ��4�i�����̐ؒf�j} ���̖₢�̉���́u�����M�F�F��͓���P
�V�y�[�W�藝�P�E�U�v���Q�Ƃ��ĉ������B

*(�ؖ��̗���͈ȉ��̒ʂ�B�܂�
$A=\Gm\cap\Q$, $A' ={\Gm}'\cap\Q$�Ƃ����ƁA��R(b)�̌��ʂ�p���鎖�ɂ��
$A$�͍ő吔�������Ȃ�����������B�����$\al =\langle A, A'
\rangle$�͗L�����̐ؒf�ł���A$\al\in\Gm$, $\al\in {\Gm}'$�̂����ꂩ��
���藧�B�����ň�ʂɁA�u�C�ӂ̎���$u=\langle U, U' \rangle$�ɑ΂��āA
$U=\{a\in \Q : a<u\}$, $U' =\{a\in\Q : a\ge u\}$�v�ł��鎖�ɂ�
���ӂ���B(�Q�l�����̒藝1.3�B������m���߂鎖���K�v�B)
����$\al\in\Gm$�Ƃ���ƁA���p����$\al$��$\Gm$�̍ő吔�ƂȂ鎖��������A
����(iii)�ɖ����B�����$\al\in {\Gm}'$�ƂȂ邪�A����$\al$��${\Gm}'$��
�ŏ����ƂȂ��Ă��鎖�����p���Ċm���߂���B)
 


\end{document}


