\documentclass[a4j, 12pt]{jarticle}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%---------------------Page Format----------------------
\oddsidemargin=0truecm
\textwidth=16truecm
%---------------------------------------------------------------
\def\l{\lambda}
\def\e{\varepsilon}
\def\d{\delta}

\newcommand{\al}{{\alpha}}
\newcommand{\bt}{{\beta}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}

\begin{document}
\begin{center}
{\large ���wI���K�𓚗�@��R��@2007�N5��17���o�蕪} 

\smallskip

�S�� ���n����CTA �O�p �~
\end{center}

\bigskip

\noindent{\bf [1]}\ 
(a) $f(I)$���P�_�W���̏ꍇ�͎����B$f(I)$���Q�_�ȏ���܂ނƂ���B
$y,z\in f(I)$, $y<z$��C�ӂɗ^�����Ƃ��A
�K����$u,v\in I$, $u\neq v$�ɑ΂���$f(u)=y$, $f(v)=z$�ƂȂ��Ă���B
���܁A$u<v$�Ƃ��悤�B
���̂Ƃ����Ԓl�̒藝���A$f$��$[u,v]$��ɂ�����$[y,z]$�Ԃ̑S�Ă̒l���Ƃ�B
$I$�͋�Ԃ�����$[u,v]\subset I$�ł���B������$[y,z]\subset f(I)$�ƂȂ�B
�����$f(I)$�͋�Ԃł���B

\smallskip

(b) ��̌��ʂ��$f([a,b])$�͋�Ԃł���A�܂��ő�l�̒藝���A$f$��$[a, b]$���
�ő�l�A�ŏ��l�����������ԂƂȂ�B

\smallskip

\noindent (�⑫) (a)�ł́A�L���������͖�����Ԃ̑����L���������͖�����ԂɂȂ鎖
�̏ؖ���^���Ă��܂��B���K�̎��Ԃɏq�ׂ��悤�ɋ�ԂƂ��ėL����Ԃ݂̂��l
�����ꍇ�ɂ́A(b)�̕�Ԃ̃P�[�X�𒆊Ԓl�̒藝��
��Ɏ����Ă���ɋA��������Ƃ������
�����ł��܂��B

\bigskip

\noindent{\bf [2]}\ 
(a) �ŏ��ɁA$f^{-1}$�����݂��鎖���A$x,y\in (a,b)$��$f(x)=f(y)$���݂�
���̂�$x=y$�̏ꍇ�Ɍ����鎖�ɒ��ӂ���B�w���@�ő�ӂ������B
����$f$�����`�P������ł�����
�ł��Ȃ��Ɖ��肷��ƁA�������藧�B

\qquad (1) $p,q\in (a,b)$�����݂��āA$p<q$����$f(p)>f(q)$���݂����B

\qquad (2) $r,s\in (a,b)$�����݂��āA$r<s$����$f(r)<f(s)$���݂����B

\noindent ���̂Ƃ�(1)��$p,q$�ɑ΂��āA
�u$(a,p)$��̔C�ӂ�$x$�ɂ���$f(x)>f(p)$�v�A
�u$(p,q)$��̔C�ӂ�$x$�ɂ���$f(q)<f(x)<f(p)$�v�A
�u$(q,b)$��̔C�ӂ�$x$�ɂ���$f(x)<f(q)$�v�����ꂼ�ꐬ�藧�B���ہA���̎咣����
���s�����Ƃ���΁A����$x\in (a,p)$�����݂���$f(x)<f(p)$�ƂȂ�B
���̂Ƃ����Ԓl�̒藝���A$f$��$[x,p]$��ɂ�����$f(x)$��$f(p)$�̊Ԃ�
�S�Ă̒l���Ƃ�A�܂�$[p,q]$��ɂ�����$f(p)$��$f(q)$�̊Ԃ̑S�Ă̒l���Ƃ�B
�����$f(y)=f(z)$�ł���悤��$y\in [x,p)$, $z\in (p,q]$�����݂��āA
�����$f^{-1}$�̑��݂ɔ�����B���A��O�̎咣�ɂ��Ă����l�Ɋm���߂�
���B

��̎咣����A(2)��$r,s$�ɑ΂��Ă�$r,s\in (a,p]$,
$r,s\in [p,q]$,$r,s\in [q,b)$�̂����ꂩ�����藧����
�K�v�ƂȂ邪�A�ǂ̏ꍇ�ɂ���قǂ̕��@�ɂȂ���Ē��Ԓl�̒藝����
���ꂼ�ꖵ�����������B

\smallskip

(b) $f$�����`�P������̂Ƃ��Ɏ������Ώ\���B���̂Ƃ�$f^{-1}$�����`�P��
����ƂȂ�B$u$��$(c,d)$��̔C�ӂ̓_�Ƃ���B���̂Ƃ��A���Ɍ�
$\lim_{x\to u-0} f^{-1}(x)$�ƉE�Ɍ�
$\lim_{x\to u+0} f^{-1}(x)$
�����݂���B���ہA$\al \equiv \sup \{f^{-1}(x):x\in (c,u)
\}$�Ƃ����ƁA�C�ӂ�$\e >0$�ɑ΂��āA����̒�`���$\al -\e < f^{-1}(v)$
�ƂȂ�悤��$v\in (c,u)$�����݂���B������$\d =u-v$�Ƃ����΁A$f^{-1}$��
�P�������S�Ă�$x\in (u-\d, u)$�ɑ΂���$\al -\e < f^{-1}(x)$
���݂����A���̂Ƃ�$| f^{-1}(x)-\al | <\e$�ƂȂ�B�����
$\al$�����߂鍶�Ɍ��ƂȂ��Ă���B
���l�ɁA$\bt\equiv\inf\{ f^{-1}(x) : x\in (u, d)
\}$�Ƃ����΁A$\bt$�����߂�E�Ɍ��ƂȂ�B

���܁A$f^{-1}$�̒P�������$\al \le f^{-1}(u)$�ł���B�܂��A�u$x\in (c,u)$
�Ȃ��$f^{-1}(x)\le \al$�A$x\in [u,d)$�Ȃ��$f^{-1}(u)\le f^{-1}(x)$�v
�ł���A$f^{-1}$��$(a,b)$��̑S�Ă̒l���Ƃ鎖����$\al \ge f^{-1}(u)$
�łȂ���΂Ȃ�Ȃ��B�]����$\al =f^{-1}(u)$�ƂȂ�B���l��$\bt
=f^{-1}(u)$��������B�����$f^{-1}$�͘A���ł���B

\bigskip

\noindent{\bf [3]}\ $c\in (a, \infty)$���^����ꂽ�Ƃ���B
���̂Ƃ�$a+\e <c$���݂����悤��$\e >0$���Ƃ��B����$\e$�ɑ΂��āA
$\lim_{x\to -\infty} f(x)=a$�̉��肩��A
$|f(u)-a|<\e$���݂����悤��$u<0$�����݂���B���̂Ƃ�����$f(u)<a+\e <c$
�ł���B�܂�$\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty$
�̉��肩��A$f(v)>c+1$���݂����悤��$v>0$�����݂���B
����Ē��Ԓl�̒藝���A$f(y)=c$���݂����悤��$y\in [u, v]$�����݂���B


\bigskip

\begin{flushright}(�𓚗�쐬�F�O�p)
\end{flushright}

\end{document}