\documentclass[a4j, 12pt]{jarticle}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%---------------------Page Format----------------------
\oddsidemargin=0truecm
\textwidth=16truecm
%---------------------------------------------------------------
\def\l{\lambda}
\def\e{\varepsilon}
\def\d{\delta}

\newcommand{\al}{{\alpha}}
\newcommand{\bt}{{\beta}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}

\begin{document}
\begin{center}
{\large ���wI���K�𓚗�@��Q��@2007�N5��8���o�蕪} 

\smallskip

�S�� ���n����CTA �O�p �~
\end{center}

\bigskip

\noindent{\bf ��P}\ (1)
�ے薽��F$x<2$���݂���$x\in\R$�ŁA$x^2 \ge 4$�ƂȂ���̂����݂���B

�ے薽��̏ؖ��F$x\le -2$�ł���悤��$x$���l����΂悢�B

(2)
�ے薽��F����$y\in\R$�����݂��āA�u�C�ӂ�$x\in\R$�ɂ���$x^2 >y$�v.

�ے薽��̏ؖ��F$y<0$�ł���悤��$y$���l����΂悢�B

(3)
�e$x\in\R$�ɑ΂���$y=x$�ƂƂ�Ζ��炩�ɗ^���͐��藧����A����͐^�B

�ے薽��F�������$x$�����݂��āA�C�ӂ̎���$y$�ɑ΂���$x^2 -y^2 \ge
2007$�����藧�B

(4)
�ے薽��F���|�[�g��$10$���ȏ㏑�����Ƃ��Ă��A���w�̒P�ʂ����炦�Ȃ�����
����B

\bigskip

\noindent{\bf ��Q}\ �΋�������B$\{a_n\}$���L�E�łȂ��Ɖ��肵�悤�B
���̂Ƃ��A$\{a_n\}$�̕�����${\{a_{n_j}\}}_{j=1}^{\infty}$��
���̂悤�ɍ\���ł���B
�܂�$a_{n_1}=a_1$�Ƃ���B����$a_{n_2}$���A$n_2>n_1$����$|a_{n_2}|\ge 
|a_{n_1}|+1$���݂����悤�ɑI�ԁB(�������̂悤��$a_{n_2}$�����݂��Ȃ���΁A
$\{a_n\}$�͗L�E�ł���B)
����$a_{n_3}$���A$n_3>n_2$����$|a_{n_3}|\ge 
|a_{n_2}|+1$���݂����悤�ɑI�ԁB
�ȉ����l�ɂ���${\{a_{n_j}\}}_{j=1}^{\infty}$
���`����B
���̂悤��$\{a_{n_j}\}$�ɑ΂��āA���̔C�ӂ̕���������炽�߂�
${\{b_n\}}_{n=1}^{\infty}$�Ƃ������Ƃ��A$\{b_n\}$
�͔C�ӂ�$n$��$|b_{n+1}|\ge |b_n|+1$
�ƂȂ鎖���������Ȃ��B

\bigskip

\noindent{\bf ��R}\ �܂���ʂɎ������藧���ɒ��ӂ���B

\bigskip

\noindent{[���]}\ $u(x)$, $v(x)$��A���֐��A$c$��萔�Ƃ���Ƃ��A
$u(x)+v(x)$, $c u(x)$, $|u(x)|$���A���B

\bigskip

\noindent{[�ؖ�]}\ �����ł�$|u(x)|$�ɂ��Ă̂ݎ����B
$x\in\R$��C�ӂɗ^����B���̂Ƃ�$u$�̘A�������A�C�ӂ�$\e>0$�ɑ΂���$\d>0$
�����݂��āA$|x-y|<\d$���݂����S�Ă�$y$�ɑ΂���$|u(x)-u(y)|<\e$
�����藧�B
���̂Ƃ��A$-|u(x)-u(y)|\le |u(x)|-|u(y)| \le |u(x)-u(y)|$�ł��鎖
�ɂ����ӂ����
$||u(x)|-|u(y)|| <\e$�ƂȂ邩��A$|u|$���A���B

\bigskip
\noindent ��R�̎咣�́A$h(x)=\frac{1}{2} \{f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|
\}$�Ƃ����鎖�Ə�̕����]���B
\bigskip

\noindent{\bf ��S}\ $f(0)=\al$, $f(1)=\bt$�Ƃ����B���̂Ƃ�
�C�ӂ�$x\in\R$�ɑ΂���$f(x)=(\bt -\al )x+\al$�ƂȂ鎖�������B
�܂��^����ꂽ��������A$p=0$, $q=1$�Ƃ����$f(2)=2\bt-\al$�A
�܂�$p=-1/2$, $q=1/2$�Ƃ����$f(-1)=2\al-\bt$�Ȃǂ�������A
�ȉ��A�[�I��$x\in\Z$�̂Ƃ��ɐ���������������B
����$x\in\Q$�̂Ƃ����l����B�C�ӂ�$m\in\N$�ɑ΂��āA
\[
\beta=f(1)=f\left(
\frac{1}{m} +\cdots+ \frac{1}{m} \right) 
=\al +m\{f(\frac{1}{m})-\al \}
\]
������$f(\frac{1}{m})=\frac{\bt -\al}{m} +\al$�ƂȂ�B
������A��̂Ƃ��Ɠ��l��$f(\frac{n}{m})$ ($n\in\Z$ �͔C��)
�̒l����̓I�ɒ�܂�B
�Ō��$x\in\R$�̂Ƃ����l���悤�B�L�������f�������A
�C�ӂ�$x\in\R$�ɑ΂��āA$\Q$��̐���$\{x_n\}$
�����݂���
$\displaystyle
\lim_{n\to\infty} x_n
=x$
�Ƃł���B����Ă��̂Ƃ�
\[
f(x)=f(\lim_{n\to\infty} x_n)=\lim_{n\to\infty} f(x_n)
=\lim_{n\to\infty} \{(\bt -\al )x_n +\al \}
=(\bt -\al ) x+\al 
\]
�ƂȂ�A��ӂ����藧�B�Q�Ԗڂ̓�����$f$�̘A������p�����B

\bigskip

\bigskip

\noindent�E��Q�ł͗��ƈقȂ�A������̎�����͏�ɓ����l�ł���Ƃ͌���܂���B
�Ⴆ��$a_n ={(-1)}^n$
�̂悤�ȏꍇ���l���Ă݂܂��傤�B

\bigskip

\noindent�E��R�ŁA$f$��$g$�̑召�ɂ���ďꍇ�������čl���悤�Ƃ���ƁA
�召�֌W�����G�ɕς��P�[�X������̂Œ��Ӑ[����舵�����K�v
�ł��B��̗�Ƃ��ẮA$f(x)=x\sin\frac{1}{x}$
($x\neq 0$)�A$f(0)=0$�A
$g(x)\equiv 0$ �̂悤�ȏꍇ���l�����܂��B

\bigskip

\noindent�E��S�ł͗^����ꂽ��������$f$�������ɂȂ鎖�̌����͕t���܂����A
$x$���������̏ꍇ���܂߂āA�S�Ă�$x$�ɑ΂���$f(x)$�̒l�����肳��鎖��
�Ŋm���߂�K�v������܂��B

\begin{flushright}(�𓚗�쐬�F�O�p)
\end{flushright}

\end{document}