\documentclass[a4j, 12pt]{jarticle}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%---------------------Page Format----------------------
\oddsidemargin=0truecm
\textwidth=16truecm
%---------------------------------------------------------------
\def\l{\lambda}
\def\e{\varepsilon}
\def\d{\delta}

\newcommand{\al}{{\alpha}}
\newcommand{\bt}{{\beta}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}

\begin{document}
\begin{center}
{\large ���wI���K�𓚗�@��13��@2008�N1��8���o�蕪} 

\smallskip

�S�� ���n����CTA �O�p �~
\end{center}

\bigskip

\noindent{\bf [1]}
$a_n =1+\frac{1}{2} +\cdots +\frac{1}{n} -\log n$
�Ƃ����B$1+\frac{1}{2} +\cdots +\frac{1}{n} 
>\int_{1}^{n+1} \frac{1}{x} dx=\log (n+1)$������A
$a_n >\log (n+1)-\log n>0$�B�����$\{ a_n \}$
�͉��ɗL�E�B

�܂��A�C�ӂ�$n$�ɑ΂���
$a_{n+1} - a_n =\frac{1}{n+1} -\log \frac{n+1}{n} 
<\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} dx-\log \frac{n+1}{n}=0$�B
�����$\{a_n \}$�͒P�������B�䂦��$\{a_n \}$
�͋Ɍ��l�����B
 
\bigskip

\noindent{\bf [2]}  
$x=0$�̂Ƃ�$\sum_{k=0}^{\infty} 
f_k (x)=0$�B�܂�$x\in (0, 1
]$�̂Ƃ�$\sum_{k=0}^{\infty} 
f_k (x)=x\sum_{k=0}^{\infty} 
(\frac{1}{1+x})^k =1+x$�B
����Ċe�_$x$��
�������Ă���B

����A$\sum_{k=0}^{n} f_k (x)$
��$[0,1]$��̘A���֐������A��̌v�Z��肻�̋Ɍ��֐���
$x=0$�ŕs�A���ƂȂ�̂ŁA��l�������Ă��Ȃ��B

\bigskip

\noindent{\bf [3]}
�C�ӂ�$x$���Œ肷�邲�ƂɁA
$\lim_{n\to\infty} nx e^{-nx^2} =0$�B
������$\int_{0}^{1} f(x)dx=0$�B
����A$\int_{0}^{1} f_n (x)dx=[- 
e^{-nx^2} /2]_{0}^{1} =(1-e^{-n})/2 
\to 1/2$ 
($n\to\infty$)�B
����ċɌ��Ɛϕ��̏��������͐������Ȃ��B

\bigskip

\noindent{\bf [4]}
(a) 
$f_n (x)=\sum_{k=1}^{n} a_k \sin kx$
�Ƃ����B
$|a_k \sin kx|\le |a_k |\le e^{-k}$
�ŁA�E�ӂ�$x$�ɂ�炸
$\sum_{k=1}^{\infty} 
e^{-k} <\infty $�ƂȂ鎖���$f_n (x)$��
��l��������B

\smallskip

���ɁA
\[
\frac{d}{dx} f_n (x)
=\sum_{k=1}^{n} \frac{d}{dx} (a_k \sin kx) 
=\sum_{k=1}^{n} k a_k \cos kx
\]
�ł���A
$|k a_k \cos kx|\le k e^{-k}$�A
$\sum_{k=1}^{\infty} k e^{-k} <\infty$
�ƂȂ鎖���
$\frac{d}{dx} f_n (x)$�͈�l��������B
�]���ċɌ��Ɣ����̏����������ł��āA$f(x)$�͔����\��
$f'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n \cos nx$��������B

\bigskip

$f(x)$�̑����$f'(x)$�ɑ΂��ď��
���l�̋c�_���J��Ԃ����Ƃɂ��A
$f'(x)$�͔����\��
$f''(x)=-\sum_{n=1}^{\infty} n^2 a_n \sin nx$��������B
�ȉ��A�[�I�ɍl����$f(x)$��$C^{\infty}$���ł��鎖���������B
(�C�ӂ�$N\in \N$�ɑ΂���$\sum_{k=1}^{\infty} 
k^N e^{-k} <\infty$ �����藧���ɒ��ӁB)

\bigskip

(b) 
$n$�������̂Ƃ�$b_n =0$�A
$n$����̂Ƃ�$b_n =-4/(n^2 \pi )$�A
�܂�$a_n \equiv 0$�Ƃ���ƁA
�Ɍ��֐��͎���$2\pi$��
$\sum_{n=0}^{\infty} b_n \cos nx=|x|-\frac{\pi}{2}$  
($x\in [-\pi, \pi ]$)
�̏ꍇ�ɑΉ����Ă���
(�����ɂ�Fourier��̖͂{�Ȃǂ��Q��)�A
$\e =0$�̏ꍇ�̏������݂�����
���_�Ŕ����\�łȂ��B

\bigskip

\bigskip

\noindent�E 
[2]�ň�l�������Ȃ����̏ؖ��̕����́A
\[
\sup_{0<x\le 1} \left| \sum_{k=0}^{n} \frac{x}{(1+x)^k} -(1+x)
\right| 
=\sup_{0<x\le 1} \frac{1}{(1+x)^n} =1
\]
��$n\to\infty$�̂Ƃ�$0$�Ɏ������Ȃ��������
���ڊm���߂��܂��B���̏ꍇ�A���$(0,1]$��ōl���Ă�
��͂��l�������Ă��܂���B

�Ȃ���̌v�Z��$\sup$�͈̔͂�$\e\le x\le 1$
(�A��$\e \in (0,1]$�͔C��)�ɒu�������čl�����
���$(0,1]$��ōL�`��l�������Ă��鎖��������܂��B

\bigskip

\noindent�E 
[2]��[4](b)�ŁA��̗Ⴊ���Ɂu�\�������v
���݂����Ă��Ȃ��Ă��A
���_�܂Ŏ��ۂɕs��������
�ʂ̖��Ƃ��čl���鎖���K�v�ł��B

\bigskip

\begin{flushright}(�𓚗�쐬�F�O�p)
\end{flushright}

\end{document}