\documentclass[a4j, 12pt]{jarticle}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%---------------------Page Format----------------------
\oddsidemargin=0truecm
\textwidth=16truecm
%---------------------------------------------------------------
\def\l{\lambda}
\def\e{\varepsilon}
\def\d{\delta}

\newcommand{\al}{{\alpha}}
\newcommand{\bt}{{\beta}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}

\begin{document}
\begin{center}
{\large ���wI���K�𓚗�@��10��@2007�N11��13���o�蕪} 

\smallskip

�S�� ���n����CTA �O�p �~
\end{center}

\bigskip

\noindent{\bf [1]}
(a) �ϐ������`���$\displaystyle 
\int \frac{dy}{y(1-y)}=\int k dx$
�ƌ`���I�ɕό`�����
$\displaystyle \log \left| \frac{y}{y-1}
\right| =kx+C$�B�����
$\displaystyle y=\frac{1}{C' e^{-kx}+1}$�B
�܂�$y\equiv 0$, $y\equiv 1$��
���炩�ɉ��ƂȂ�B

\smallskip

(b) �܂�$\displaystyle \frac{dy}{dx}+y=0$
��(a)�Ɠ��l�̕��@�ŉ�����
$y=C e^{-x}$�B���ɒ萔$C$�̕�����
���炽�߂�$C(x)$�Œu��������(�萔�ω��@)�A
$y=C(x) e^{-x}$�����̕������ɑ������
��������ƁA
$\displaystyle C(x)=\int e^x \sin x dx
=\frac{e^x}{2} (\sin x-\cos x)+C'$�B
������$\displaystyle y=\frac{1}{2} 
(\sin x-\cos x)+C' e^{-x}$�B
 
\bigskip

\noindent{\bf [2]}  
$\{P_n\}$��$\alpha\in {\R}^2$
�Ɏ������Ă���Ƃ���B���̂Ƃ�
�C�ӂ�$\e>0$�ɑ΂��āA$N$�����݂���
$n>N$�Ȃ��$\parallel P_n -\alpha\parallel 
<\e$���݂���
($\parallel\cdot\parallel$�͕��ʏ��Euclid����)�B
������$\{P_n \}_{n=N+1}^{\infty}$��
$\alpha$���܂�$1$��$2\e$�̐����`$L$��
�܂܂��B
�܂��e$n=1,\cdots, N$�ɑ΂��ẮA
�_$P_n$���܂ނ悤��$1$��$\e /\sqrt{N}$
�̐����`$L_n$���Ƃ��B
���̂Ƃ��A$A\subset L\cup (\cup_{n=1}^{N} 
L_n )$����$|L|+\sum_{n=1}^{N} |L_n |
=4{\e}^2 + {\e}^2 $������$|A|=0$�ƂȂ�B

�܂�$\{P_n\}$���������Ȃ��Ƃ��A�Ⴆ��
$P_n =({(-1)}^n , 0)$�Ƃ����$A$��$2$�_�W��
�䂦$|A|=0$�ƂȂ邪�A$P_n =(n, 0)$�Ƃ����
$A$�͔�L�E�ƂȂ�ʐϊm��łȂ��B

\bigskip

(��) $\{P_n \}$���L�E�����ʐϊm��łȂ��P�[�X�����݂���B
���ہA$I=\{(x,y)\in {\R}^2 : 0\le x\le 1, 0\le y\le 1\}$, 
$Q=\{(x,y)\in I : x,y\in\Q\}$�Ƃ����āA
$Q$�̊e���ɓK���Ȕԍ���t���ĕ��ׂ����̂�
$P_1, P_2, P_3, \cdots$�Ƃ���B
(���̂悤�Ȕԍ��t�����ł��鎖�ɂ��Ă�
�Ⴆ�ΏW���_�̖{�Ȃǂ��Q�ƁB)
���̂Ƃ�$\{P_n \}$�͎������Ȃ��B
(����$\beta\in {\R}^2$�Ɏ������Ă����Ƃ���ƁA
$N$���\���傫���Ƃ��${\{P_n\}}_{n=N}^{\infty}$
�͒��S$\beta$, ���a$1/3$�̉~$M$�Ɋ܂܂�邪�A
�����$I\setminus M$���$\{P_n \}$�̌���������
���݂��鎖�ɖ�������B)
$I$�̗L���̒����`�ɂ�镪����$\Delta$
�Ƃ���Ƃ��A�ǂ̂悤��$\Delta$���Ƃ��Ă�
$A(=Q)$�Ɋ܂܂�鏬�����`�̖ʐς̘a��$0$�A
$A$�̌����܂ޏ������`�̖ʐς̘a��$1$�ƂȂ邩��A
$A$�͖ʐϊm��łȂ��B


\bigskip

\noindent{\bf [3]}
$D$���܂ށA�e�ӂ����W���ɕ��s��
�����`$R$��$1$�Œ肷��B
$L=\{(x,y)\in R : x=0\}$�Ƃ����ƁA
$L$��$R$����$C^1$-�Ȑ����$|L|=0$�B
�܂�������$|\partial D|=0$�ŁA
$\partial D_+ \subset L\cup\partial D$
���A$|\partial D_+|=0$��������B
���l��$|\partial D_-|=0$�B
�����$D$, $D_+$, $D_-$�͖ʐϊm��ł���A
����$f$��$D$, $D_+$, $D_-$��ɂ����Ă��ꂼ��ϕ��ƂȂ�B

���܁A$R$��̊֐�$\tilde{f}$�����̂悤�ɒ�߂�B
\[
\tilde{f} (x,y)=
\left\{
\begin{array}{cc}
f(x,y) & (x,y)\in D\\
0 & (x,y)\in R\setminus D 
\end{array}
\right. 
\]
$R$�̏������`�ɂ�镪��$\Delta$���A
$L$�������ɗp������悤�Ȃ��̂Ƃ��A
$\Delta$��
$R_+ \equiv R\cap \{x\ge 0\}$�ւ̐�����
${\Delta}_+ $�A
$R_- \equiv R\cap \{x\le 0\}$�ւ̐�����
${\Delta}_- $�Ƃ���B�܂�
${\Delta}_+ $�̕����ɑΉ����鏬�����`�̑S�̂�
$E_+ (\Delta)$�A
${\Delta}_- $�̕����ɑΉ����鏬�����`�̑S�̂�
$E_- (\Delta)$�Ƃ��A
$E(\Delta)=
E_+ (\Delta)\cup E_- (\Delta)$�Ƃ����B
���̂Ƃ��A
\begin{eqnarray*}
&{}&\int\int_D f(x,y)dxdy\\
&=&\int\int_R \tilde{f} (x,y)dxdy\\
&=&\lim_{|\Delta |\to 0} 
\sum_{A\in E(\Delta)} M(f,A) |A|\\
&=& \lim_{|{\Delta}_+ |\to 0} 
\sum_{A\in E_+ (\Delta) } M(f,A) |A|+
\lim_{|{\Delta}_- |\to 0} 
\sum_{A\in E_- (\Delta) } M(f,A) |A|\\
&=&\int\int_{R_+ } \tilde{f} (x,y)dxdy
+\int\int_{R_- } \tilde{f} (x,y)dxdy\\
&=&\int\int_{D_+ } f(x,y)dxdy
+\int\int_{D_- } f(x,y)dxdy
\end{eqnarray*}
�ƂȂ��ӂ����藧�B���$M(f,A)$��$\tilde{f}$��$A$�ɂ�����
�����\��(�����ɒu�������Ă����l)�B���Ƒ�l�̓����ł�$f$�̉ϕ�����
Darboux�̒藝��p�����B

\bigskip

\bigskip

\noindent�E
[1]�̔����������́A��������$y(0)$��^���邲�Ƃɉ�����ӓI�ɒ�܂�悤��
�u�悢�ꍇ�v�ɂȂ��Ă��܂��B

\bigskip

\noindent�E 
[2]��$L_n$��$1$�ӂ�$\e$�̂悤�ɂƂ�ƁA
$\sum_{n=1}^{N} |L_n |=N {\e}^2 $�ƂȂ�A
$N$��$\e$�Ɉˑ����Ă���(�Ⴆ��$N(\e)={\e}^{-3}$�����m��Ȃ�)
�̂ł��܂������܂���B

\bigskip

\begin{flushright}(�𓚗�쐬�F�O�p)
\end{flushright}

\end{document}