\documentclass[a4j, 12pt]{jarticle}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%---------------------Page Format----------------------
\oddsidemargin=0truecm
\textwidth=16truecm
%---------------------------------------------------------------
\def\l{\lambda}
\def\e{\varepsilon}

\newcommand{\al}{{\alpha}}
\newcommand{\bt}{{\beta}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}

\begin{document}
\begin{center}
{\large ���wI���K�𓚗�@��P��@2007�N4��24���o�蕪} 

\smallskip

�S�� ���n����CTA �O�p �~
\end{center}

\bigskip

\noindent{\bf ��P}\ �u�C�ӂ�$\e >0$�ɑ΂��āA�\���傫�Ȏ��R��$N$���Ƃ��
$1/\e <N$�Ƃł���v���������B���ꂪ�������΁A$n\ge N$�̂Ƃ�
$|\frac{1}{n} -0|<\e$�ƂȂ邩���ӂ����藧�B�`���̎咣���������藧
���Ȃ��Ɖ��肷��ƁA����$\e>0$�����݂��āA�C�ӂ̎��R��$N$�ɑ΂���$1/\e
\ge N$�ƂȂ�B
������$a_n =n$�͏�ɗL�E�ƂȂ�A�P�������ł����邩��A�^����ꂽ�������Ɍ��l$\al$
�����݂���B���Ȃ킿�A�C�ӂ�$\e>0$�ɑ΂��Ď��R��$N$�����݂��āA
$n\ge N$�Ȃ��$|n-\al|<\e$���݂����B���ܓ���$\e=1/2$
�Ƃ���ƁA�Ή�����$N$�ɑ΂���$|N-\al|<1/2$, $|N+1-\al|<1/2$
�ƂȂ�B���̂Ƃ��A$1=|(N+1-\al)-(N-\al)|\le |N+1-\al|+|N-\al|
< \frac{1}{2}+\frac{1}{2} =1$�ƂȂ�̂Ŗ����B

\bigskip

\noindent{\bf ��Q}\ $\{a_n\}$��$\al$�Ɏ������鎖��(1)�A��蕶���̎咣��
(2)�Ƃ���B(1)$\Rightarrow$(2)�́A$\e <{\e}^2 +2\e$��薾�炩�B
(2)$\Rightarrow$(1)���������B�C�ӂ�$\e >0$�ɑ΂��āA
$\e >{{\e}_1}^2 +2{\e}_1$���݂����悤��${\e}_1 >0$���Ƃ��B
���ہA$\e \ge 1$�̂Ƃ���${\e}_1 =1/3$,
$\e <1$�̂Ƃ���${\e}_1 ={\e}/3$�Ȃǂ̂悤��${\e}_1$��I�ׂ΂悢�B
����${\e}_1$�ɑ΂���(2)���A�\���傫��$N=N({\e}_1)=N(\e)$
�����݂��āA$n\ge N$�Ȃ��$|a_n -\al |<{{\e}_1}^2 +2{\e}_1
<\e$�Ƃł���B$\e$�͔C�ӂ���������A(1)���]���B

\bigskip

\noindent{\bf ��R}\ ������A�C�ӂ�$\e >0$�ɑ΂���$N$�����݂��āA
$n\ge N$�Ȃ��$|a_n -\al |<\e$����$|b_n -\al |<\e$�Ƃł���B
����e$n$�ɑ΂���$a_n \le x_n \le b_n$�ł��鎖����A
$n\ge N$�Ȃ��$\al -\e <a_n \le x_n \le b_n <\al +\e$�A�����
$|x_n -\al| <\e$�ƂȂ�B�������ӂ����藧�B

\bigskip

\noindent{\bf ��S}\ $\e >0$��C�ӂɂƂ�B���̂Ƃ�������$N$�����݂��āA
$n\ge N$�Ȃ��$|a_n -\al| <\e$�Ƃł���B���̂悤��$N$���P�Œ肵�A
$n\ge N$�ɑ΂���
\begin{eqnarray*}
b_n &\equiv& \frac{a_1+2a_2+\cdots+na_n}
{1+2+\cdots +n}\\
&=& \frac{a_1+\cdots+(N-1)a_{N-1}}{1+\cdots +n}
+\frac{N(a_N-\al)+\cdots +n(a_n-\al)}{1+\cdots +n}
+\frac{N\al +\cdots +n\al}{1+\cdots +n}\\
&\equiv& b_{n}^{(1)}+b_{n}^{(2)}+b_{n}^{(3)}
\end{eqnarray*}
�ƕ����čl���Ă݂�B
���̂Ƃ��A$N_1 =N_1 (\e, N, a_1,a_2,\cdots a_{N-1})$���\���傫���Ƃ�΁A
$n\ge N_1$�̂Ƃ�$|b_{n}^{(1)}|<\e$�Ƃł���B
�܂��A$n\ge N$�ɑ΂��Ď������藧�B
\[
|b_{n}^{(2)}|\le \frac{N|a_N-\al|+\cdots +n|a_n-\al|}{1+\cdots +n}
<\frac{(N+\cdots +n)\e}{1+\cdots +n}\le \e. 
\]
�܂��A$N_2=N_2 (\e, N, \al)$���\���傫���Ƃ�΁A$n\ge N_2$�̂Ƃ�
$|b_{n}^{(3)}-\al|=\frac{1+\cdots +(N-1)}{1+\cdots +n} |\al|<\e$
�Ƃł���B�ȏ���A$n\ge\max\{N, N_1 , N_2\}$�̂Ƃ��A
\[
|b_n-\al|=|b_{n}^{(1)}+b_{n}^{(2)}+b_{n}^{(3)}-\al|
\le |b_{n}^{(1)}|+|b_{n}^{(2)}|+|b_{n}^{(3)}-\al|
<3\e
\]
�ƂȂ�A��ӂ����藧�B

\bigskip

\noindent{\bf ��T}\ $c_n=b_n-\bt$�Ƃ����ƁA
\[
\frac{a_1 b_n +\cdots +a_n b_1}{n}
=\frac{a_1 c_n +\cdots +a_n c_1}{n}+\frac{a_1 \bt +\cdots +a_n \bt}{n} 
\] 
�Ƃ����āA�E�ӑ�񍀂͗��P���$\al\bt$�Ɏ�������B�E�ӑ�ꍀ��$0$�Ɏ�
�����鎖���������B���܁A$\{a_n\}$�͎������鎖���L�E�B���Ȃ킿���萔$M$
�����݂��āA�C�ӂ�$n$�ɑ΂���$|a_n|\le M$�ƂȂ�B����āA
\[
\left|{\frac{a_1 c_n +\cdots +a_n c_1}{n}}\right|
\le\frac{|a_1||c_n|+\cdots +|a_n||c_1|}{n}
\le M \frac{|c_1|+\cdots +|c_n|}{n} 
\]
�ł���A$\displaystyle\lim_{n\to\infty} |c_n|=0$
������Ăї��P���㎮�̉E�ӂ�$0$�Ɏ�������B
����ċ��߂�Ɍ���$\al\bt$�ƂȂ�B

\bigskip

\bigskip

\noindent�E��P�̏ؖ��ł͖{���I�ɁA�^����ꂽ��������A���L���f�X�̌���(���R���͏�ɗL
�E�łȂ�)��������鎖�������Ă��܂��B�Ȃ��A�u�Ɍ��ƒ萔�{�����������\�ł���v��
�Ɓu���񂪎�������Ƃ����̕������
�����l�Ɏ�������v�������m�Ƃ���΁A���̂悤�ȉ��������ł��܂��B

\bigskip

$-\frac{1}{n}$��$n$�ɂ��ĒP���������L�E���A�Ɍ��l$-\al$�����B
�����$a_n =\frac{1}{n}$���Ɍ��l$\al$�����B
������$b_n =\frac{1}{2n}$�Ƃ����ƁA$\{b_n\}$��$\{a_n\}$
�̕�����䂦�A�����Ɍ��l$\al$�����B
���܁A$a_n=2 b_n$������A����$n\to\infty$�Ƃ����
$\al =2 \al$�ƂȂ�B�����$\al =0$�B

\bigskip

\noindent�E��Q��$\e$��${\e}^2 +2\e$���P�΂P�ɑΉ����鎖���玩���ɂ�����
�܂����A�����Ȍ��t�Ő������鎖���K�v�ł��B

\noindent�E��T�͖ܘ_�A���P�̌��ʂ�p�������ڌv�Z�ɂ���Ă�������܂��B

\begin{flushright}(�𓚗�쐬�F�O�p)
\end{flushright}

\end{document}