\documentclass[a4j, 12pt]{jarticle}
\thispagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%---------------------Page Format----------------------
\oddsidemargin=0truecm
\textwidth=16truecm
%---------------------------------------------------------------
\def\l{\lambda}
\def\e{\varepsilon}

\newcommand{\al}{{\alpha}}
\newcommand{\bt}{{\beta}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\renewcommand{\Im}{{\operatorname{Im}\,}}

\newcounter{nombre} 
\renewcommand{\thenombre}{\arabic{nombre}}
\newcommand{\prob}{\refstepcounter{nombre}{%
\bigskip\noindent{\bf [\thenombre]\ }}}

\begin{document}
\begin{center}

\setcounter{nombre}{43}

{\large\textbf{��8�񕡑f��͊wII���K (2011�N6��7�����{)}}
\end{center}
\begin{flushright}
�S������ ���n����/ TA �v�{�q�V�@���{���F
\end{flushright}

\bigskip

�ȉ��̖������̉��K�̎��Ԃ́w�͂��߁x�Ƀ��|�[�g�Ƃ��Ē�o���邱��.


\bigskip
\noindent
{\bf [R11]}\ $\mathcal O$ �� $\mathbb C$ ��̐����֐��̑w�Ƃ���B
$P\in \mathcal O$ �ɑ΂��� $P(z)=\sum_{j=0}^\infty a_j (z-z_0)^j$ �̎������a
��
$r(P)$, �萔���� $a_0(P)$ �Ƃ���B

(a) $r:\mathcal O\to (0,+\infty]$ �͘A���ł��邱�Ƃ������B

(b) $\varphi\in \Gamma(U,\mathcal O)$ ���J�W�� $U$ ��̒f�ʂƂ���B
���� $a_0\circ \varphi:U\to \mathbb C$ �͐����ł��邱�Ƃ������B
�܂������ʑ� $f:U\to \mathbb C$ �ɑ΂��� $\varphi(a)=(f(z)$ �� $z=a$ �ł̃x
�L�����W�J) �ɂ��ʑ� $\varphi: U\to \mathcal O$ ���`�����
$\varphi\in \Gamma(U,\mathcal O)$ �ł��邱�Ƃ������B

\medskip
\noindent
�R�����g�F$\mathcal O$ �̈ʑ��̒�`�̊m�F�̂��߂̖��ł��B�ȒP�ł��̂ŁA��
���邾�����m�ɓ����������ĉ������B

\bigskip
�ȉ��͋������\�p�̖��ł�. 

\prob
$P\in \mathcal O$ �ɑ΂��Ă��̔��� $P'$ ��Ή�������ʑ�
$d/dz:\mathcal O\to \mathcal O$ �͘A���ł��邱�Ƃ������B

\prob (�K���}�֐�)
(a) �L�`�ϕ�
$$\Gamma(z)=\int_0^\infty e^{-t}t^{z-1}dt\quad \text{Re } z>0$$
�͎�����$z$�̐����֐����߂邱�Ƃ������D�����$\Gamma(z)$�������K���}�֐��Ƃ�ԁD

(b) $\text{Re } z>0$�ɂ�����$z\Gamma(z)=\Gamma(z+1)$�����藧���Ƃ��m���߁C�����p����$\Gamma(z)$��$\C$��̗L���^�֐��ɉ�͐ڑ�����邱�Ƃ������D

(c) $\Gamma(z)$�̋ɂƗ��������߂�D

\prob ($\sqrt[n]{z}$�̃��[�}����)
$n$�����R���Ƃ���D
$F=\{f(z)\in \mathcal O: f(z)^n=z\}$��$\mathcal O$�̘A�������ł��邱�Ƃ������D

\prob
�Ћ���$f(z)=\sum_{j=0}^\infty z^{n!}$�͎����~�̊O�ɂ͉�͐ڑ��ł��Ȃ����Ƃ������D
�i���Ȃ킿�C�����~$\Delta(0,r)$�Ɋ܂܂�Ȃ��̈��$D$�̐����֐�$g$��$\Delta(0,r)\cap D$�̂���A���������$f=g$�����藧���̂͑��݂��Ȃ��D�j

\prob
$\arctan z$ �ɂ���
$a\ne \pm i$ �Ȃ�� $a$ �𒆐S�Ƃ����֐��v�f�����邱�Ƃ��������̎������a����
�߂�B(���ӁF$\arctan z$�̊֐��v�f�Ƃ�$\tan(f(z))=z$�𖞂���$a$���S�̋Ћ����̂��Ƃł���D)

\prob
$\sum c_{m} \; (c_{m}>0)$�͎�������Ƃ���D$\{ a_{m} \}$�͎�������f����
�_��Ƃ���ƁC$f(z)=\sum c_{m}(z-a_{m})^{-1}$��$\{\mathrm{Im}\, z > 0\}$
��$\{\mathrm{Im} \, z < 0\}$�ƂŐ����ł��邪�C�����������Ă͉�͐ڑ�����
�Ȃ����Ƃ������D

\end{document}


\prob
$f(z),\; g(z)$�͐��֐��Ƃ���D
\[
 F(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{|\zeta |=1}
 \left\{
 \frac{f(\zeta)}{\zeta -z} + \frac{zg(1/\zeta)}{z\zeta -\zeta^{2}}
 \right\}
 d \zeta
\]
��$|z|<1$�ł�$f(z)$�ɓ������C$|z|>1$�ł�$g(1/z)$�ɓ��������Ƃ������D

\prob
$f(z)=\Pi_{m=1}^{\infty}(1+(m^{z}+m)^{-1})$��$\mathrm{Re}\, z > 1$�Ő���
�ł��邪�C$\mathrm{Re}\, z =1$��荶�ւ͉�͐ڑ�����Ȃ����Ƃ������D
