\documentclass[a4j, 12pt]{jarticle}
\thispagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%---------------------Page Format----------------------
\oddsidemargin=0truecm
\textwidth=16truecm
%---------------------------------------------------------------
\def\l{\lambda}
\def\e{\varepsilon}

\newcommand{\al}{{\alpha}}
\newcommand{\bt}{{\beta}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\renewcommand{\Im}{{\operatorname{Im}\,}}

\newcounter{nombre} 
\renewcommand{\thenombre}{\arabic{nombre}}
\newcommand{\prob}{\refstepcounter{nombre}{%
\bigskip\noindent{\bf [\thenombre]\ }}}

\begin{document}
\begin{center}

\setcounter{nombre}{37}

{\large\textbf{��7�񕡑f��͊wII���K (2011�N5��31�����{)}}
\end{center}
\begin{flushright}
�S������ ���n����/ TA �v�{�q�V�@���{���F
\end{flushright}

\bigskip

�ȉ��̖������̉��K�̎��Ԃ́w�͂��߁x�Ƀ��|�[�g�Ƃ��Ē�o���邱��.


\bigskip
\noindent
{\bf [R9]}\ ���f�̈�$\Omega$��̘A���֐�$u(z)$�����ϒl�̐���
�u$
f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\theta})d\theta
$ for all $[\Delta(z_0,r)]\subset\Omega
$�v
�𖞂����΁C$u$�͒��a�֐��ł��邱�Ƃ������D

\medskip
\noindent
{\bf [R10]} (���a�֐��̋����̌���)
$\Omega$�������ɑ΂��đΏ̂ȗ̈�Ƃ���D$\Omega_{\pm}=\{z\in\Omega:\pm\Im z>0\}$�Ƃ����D$u$��$\{z\in\Omega:\Im z\ge0\}$��Œ�`���ꂽ�����l�A���֐��ŁC$\Omega_+$��Œ��a�C$\Omega\cap\R$���$0$�ɂȂ�֐��Ƃ���D
$u$��$\Omega$��̒��a�֐��Ɋg���ł��邱�Ƃ������D(�q���g�F
$\Omega_-$��ł�$-u(\overline{z})$�Ƃ����D�j

\bigskip
�ȉ��͋������\�p�̖��ł�. 


\prob
���̊e�̈�ɂ����� Green �֐������߂�F

$\Omega_1 = \{z\in\C:|z|<1, \Im z>0\}$,


$\Omega_2 = \{z\in\C:|z|<1,\text{Re} z>0,\ \Im z>0\}$.

\prob
$\Omega$������͓I�ȋ��E$\partial\Omega$�����L�E�̈�Ƃ���D$\Omega$��Green�֐�$g(z,w)$��$z$�̊֐��Ƃ���$\partial\Omega$�̋ߖT�̒��a�֐��Ɋg���ł��邱�Ƃ������D(�q���g [R10])


\prob
$f(z)$ �� $\mathrm{Re} \; z > 0$ �Ő����ŁC$\mathrm{Re} \; f(z) \geq 0$
�Ƃ���D���̂Ƃ����̂��Ƃ����藧���Ƃ������D
\begin{description}
 \item[\textrm{(i)}] �萔 $c \geq 0$ �������� $\mathrm{Re}\; f(z) \geq 
  cx \quad (z=x+iy)$�D
 \item[\textrm{(ii)}] $0 < \alpha < \pi /2$ �𖞂����C�ӂ� $\alpha$ �ɑ�
  ���āC $|\mathrm{arg}\; z| \leq \alpha$ �ň�l�� $f(z)/z \to c$�D
\end{description}

\prob \textbf{�iHadamard �� 3 �~�藝�j}
$0< r_1 < r_2$ �Ƃ���D$r_1 \le |z| \le r_2$ ��̐����֐� $f$ �ɑ΂��C
$M(r) := \max_{|z|=r} |f(z)|$ $(r_1 \le r \le r_2)$ �Ƃ����D���̂Ƃ��C��
�� $\alpha$ �ɑ΂��� $|z^{\alpha}f(z)|$ ���򒲘a�֐��ł��邱�Ƃ�p���āC
$\log M(r)$ �� $\log r$ �̉��ɓʂȊ֐��ł��邱�ƁC���� $r_1 \leq r \leq
r_2$ �ɑ΂���
\begin{align*}
 & \log M(r) \leq \frac{\log r_2 - \log r}{\, \log r_2 - \log r_1} \log M(r_1)
            + \frac{\log r - \log r_1}{\log r_2 - \log r_1} \log M(r_2) \\
& \left( \Longleftrightarrow 
 M(r) \leq 
 M(r_1)^{\log (r_2 / r) / \log (r_2 / r_1)}
 M(r_2)^{\log (r / r_1) / \log (r_2 / r_1)} \right)
\end{align*}
���������邱�Ƃ������D

\prob
$f(z)$ �� $r<|z|<1$ �Ő����C���C$r \leq |z| \leq 1$ �ŘA����
$|f(e^{i \theta})| = M > 0 , \; |f(r e^{i \theta})|= m, \;(0 \leq\theta
\leq 2 \pi)$ �Ƃ���D$f(z)$ �����肵�C$M,\; m,\; r$ �̊Ԃ̊֌W�����߂�D

\prob
$D$ ��L�E�łȂ����f�̈�C$f(z)$ �� $D$ �Ő������L�E�Ƃ���D�C�ӂ� $\zeta\in\partial D\subset\C$ �ɂ����� $\overline\lim_{z \to \zeta} |f(z)| \leq
M$ �Ȃ�΁C$D$ ���� $|f(z)| \leq M$ �ł��邱�Ƃ��ؖ�����D

\end{document}

\medskip

\porb
�~�� $1<|z|<r$ �����_ $z$ ���������̈�� $A(r;z)$ �Ƃ���D���̂悤�ȗ�
�� $A(r;z)$, $A(s;w)$ ���o�������l�ɂȂ邽�߂̕K�v�\�����������߂�D�܂��C�~����2�_����菜�����̈�̏ꍇ�ɂ͂ǂ��Ȃ邩�H



\prob \textbf{�iDoetsch �� 3 ���藝�j}
$a < \mathrm{Re} \; z < b$ �ŗL�E������ $f(z)$ �ɑ΂��C
$$L(x) = \sup_{y}
|f(x+iy)|
$$
�Ƃ����΁C$\log L(x)$ �� $x$ �̓ʊ֐��ł��邱�Ƃ������D


\prob�i��L�E�̈�� Green �֐��j
$\Omega$ �� $\mathbb{C}$ ���̊J�W���Ƃ��C$a \in \Omega$ ���Ƃ�D
$\Omega$ �� Riemann ���ʂ̒��ł̕�Ƌ��E�� $[\Omega]_{\infty}$, 
$\partial_{\infty}\Omega$ ������
�i���Ȃ킿 $\Omega$ ���L�E�ł����  $[\Omega]_\infty=[\Omega]$,
$\partial_\infty\Omega=\partial\Omega$, ��L�E�ł����
 $[\Omega]_\infty=[\Omega]\cup\{\infty\}$,
$\partial_\infty\Omega=\partial\Omega\cup\{\infty\}$ �Ƃ���j�D
�A���֐� $g_a : [\Omega]_\infty\setminus \{ a \} \to \R$ ��
\underline{$a$ ����ٓ_�ɂ��� $\Omega$ �ɂ����� Green �֐�}
�ł���Ƃ�

(i) $\Omega$ ��̒��a�֐� $\psi$ �����݂��āC
$g_a(z) = -\log |z-a| + \psi(z)$ �Ə�����D

(ii) $\partial_\infty \Omega$ ��ɂ����� $g_a \equiv 0$.

\noindent
�̓�̏������������邱�Ƃƒ�`����D

(a) $\Omega$ ����L�E�̏ꍇ�� Green �֐������݂����
��ӂł��邱�Ƃ������D

(b) $\mathbb{C}$ �ɂ� Green �֐������݂��Ȃ����Ƃ������D

