\documentclass[a4j, 12pt]{jarticle}
\thispagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%---------------------Page Format----------------------
\oddsidemargin=0truecm
\textwidth=16truecm
%---------------------------------------------------------------
\def\l{\lambda}
\def\e{\varepsilon}

\newcommand{\al}{{\alpha}}
\newcommand{\bt}{{\beta}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\renewcommand{\Im}{{\operatorname{Im}\,}}
\newcounter{nombre} 
\renewcommand{\thenombre}{\arabic{nombre}}
\newcommand{\prob}{\refstepcounter{nombre}{%
\bigskip\noindent{\bf [\thenombre]\ }}}

\begin{document}

\setcounter{nombre}{20}
\begin{center}
{\large\textbf{��4�񕡑f��͊wII���K (2011�N5��10�����{)}}
\end{center}
\begin{flushright}
�S������ ���n����/ TA  �v�{�q�V�@���{���F
\end{flushright}

\bigskip

�ȉ���1�������̉��K�̎��Ԃ́w�͂��߁x�Ƀ��|�[�g�Ƃ��Ē�o���邱��.
\bigskip

\noindent
{\bf [R5]} 
$D$, $D'$�𑽊p�`�̓����Ƃ��Ē�`����镡�f�̈�Ƃ���(����ʂ�Jordan�̈���l���Ă��ǂ��j�D
$\partial D$��̐��̌����ɕ��񂾂R�_$z_1,z_2,z_3$��
$\partial D'$��̐��̌����ɕ��񂾂R�_$w_1,w_2,w_3$�ɂ�������
�o�����ʑ�$f\colon D\to D'$�ł��̋��E�ւ̊g����
$f(z_j)=w_j$ ($j=1,2,3$) �𖞂������̂���������݂��邱�Ƃ�����.
\bigskip

�������C$z_1,z_2,z_3$�����̌����ɕ��ԂƂ�$z_1$����o������$\partial D$�𐳂̌����Ɉ������Ƃ�$z_2,z_3$�̏��ɒʉ߂���Ƃ��������D

\bigskip

\noindent
�ȉ��͋������\�p�̖��ł�. 

\prob
�㔼��Ԃ̎��ȓ��^�Q$\mathrm{Aut}(H)$
�Ɋւ�����̐���������. 

(a) $F\in\mathrm{Aut}(H)$��������̂R�_���Œ肷���$F$�͍P���ʑ�. 

(b) $x_1<x_2<x_3$ ����� $y_1<y_2<y_3$�����藧�Ă�
$F(x_j)=y_j$, $j=1,2,3$, �𖞂���$F\in\mathrm{Aut}(H)$����������݂���. 

(c) $x_1<x_2<x_3$ �����$y_3<y_1<y_2$�����藧�Ă�
$F(x_j)=y_j$, $j=1,2,3$, �𖞂���$F\in\mathrm{Aut}(H)$����������݂���. 


\prob
�~�� $r<|z|<1$ ����~�� $s<|z|<1$ �ւ̑o�����ʑ�$f$�����݂���̂͂ǂ�
�悤�ȂƂ���? �܂����̂Ƃ��� $f$ �����߂�.


\prob $\beta_1,\beta_2\in (0,1)$�ɑ΂��ď㔼���$H$���
�����֐�
$$
F(z)=\int^z_0 \zeta^{-\beta_1}(1-\zeta)^{-\beta_2}d\zeta
$$
���`����.

(a) $1<\beta_1+\beta_2<2$ �̂Ƃ�$F(H)$�͎O�p�`�ł��邱�Ƃ������A���̂R�̊p��$\alpha_j\pi=(1-\beta_j)\pi$�ł��邱�Ƃ������D

(b) $\beta_1+\beta_2=1$�̂Ƃ��͂ǂ��Ȃ邩�H


(c) $0<\beta_1+\beta_2<1$�̂Ƃ��͂ǂ��Ȃ邩�H


(d) ��(a)�ɂ����Ċp$\alpha_j\pi$�̒��_�̑Εӂ̒�����
$$
\frac{\sin(\alpha\pi)}{\pi}\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)\Gamma(\alpha_3)
$$�ł��邱�Ƃ������D������$\Gamma(\alpha)$�̓K���}�֐��ł���D

\prob
$$
F(z)=\int_1^z\frac{d\zeta}{(1-\zeta^n)^{2/n}}
$$
�͒P�ʉ~�𐳑��p�`�̂ɂ����o�����ʑ��ł��邱�Ƃ�����. 

\end{document}



