\documentclass[a4j, 11pt]{jarticle}
\thispagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%---------------------Page Format----------------------
\oddsidemargin=0truecm
\textwidth=16truecm
%---------------------------------------------------------------
\def\l{\lambda}
\def\e{\varepsilon}

\newcommand{\al}{{\alpha}}
\newcommand{\bt}{{\beta}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}

\newcounter{nombre} 
\renewcommand{\thenombre}{\arabic{nombre}}
\newcommand{\prob}{\refstepcounter{nombre}{%
\bigskip\noindent{\bf [\thenombre]\ }}}

\begin{document}

\setcounter{nombre}{14}

\begin{center}
{\large\textbf{��3�񕡑f��͊wII���K (2011�N4��26�����{)}}
\end{center}
\begin{flushright}
�S������ ���n����/ TA �v�{�q�V�@���{���F
\end{flushright}


���̖�����������̉��K�̎��Ԃ́w�͂��߁x�Ƀ��|�[�g�Ƃ��Ē�o���邱��.
\bigskip


\noindent
{\bf [R4]} $C^1$�Ȑ�$\gamma\colon[a,b]\to\C$���̂ɑ΂���$z\not\in[\gamma]=\gamma([a,b])$�̉��̉�]����
$n(\gamma,z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma \frac{d\zeta}{\zeta-z}$
�ƒ�`����D

(1) $n(\gamma,z)$��$\C\setminus[\gamma]$��̘A���֐��ł��邱�Ƃ������D

(2) $n(\gamma,z)\in \Z$�������D

(3) $\C\setminus[\gamma]$�̔�L�E�ȘA��������ł�$n(\gamma,z)=0$�ł��邱�Ƃ������D

(4) ���̎�����$\gamma$���L���̓_$\gamma(t_j)$, $j=1,2,\dots,k$�Ō����C�����$s_j=\text{Im} \gamma'(t_j)\ne0$�𖞂����Ƃ���D���̂Ƃ�
$
n(\gamma,0)=\sum_{j=1}^k \dfrac{s_j}{|s_j|}
$
�������D



\bigskip

\noindent
�ȉ��͋������\�p�̖��ł�. 

\prob �A���֐�$f\colon[0,1]^2\to D\subset\C$��$f(t,0)=f(0,t)=f(1,t)=0$, $t\in[0,1]$�𖞂����Ƃ���D���̂Ƃ��A���ʑ�$g\colon[\Delta]\to D$��$g(e^{2\pi i t})=f(t,1)$�𖞂������̂����݂��邱�Ƃ����߂��D


\prob $D_1\subset D_2\subset\cdots\subset\mathbb{C}$
��P�A���J�W���̗�Ƃ���Ƃ�${D}=\cup_j D_j$���P�A���ł��邱�Ƃ������B
$V_j$���J�W���ł���Ƃ���������Ȃ����ꍇ�A�������_�͐��藧���H

\prob $D=\{z\in\C:|z|<1, z\ne\pm 1/2\}$ ��̐����֐�$f(z)$���l����B
$F\in\mathcal{O}(U)$��$F'=f$�ƂȂ���̂����݂���K�v�\��������
$
\int_{|z-1/2|=1/4}f(z)dz=0$����$\int_{|z+1/2|=1/4}f(z)dz=0 
$
�ł��邱�Ƃ������B


\prob
$\Omega$ �� $\C$ ���̗̈�Ƃ�, $\mathrm{Aut}(\Omega)$ �� $\Omega$ ����
$\Omega$ �ւ̑o�����ʑ��S�̂Ƃ���.

(a) $\mathrm{Aut} (\Omega)$ ��, �ʑ��̍����Ɋւ��ČQ���Ȃ����Ƃ�����. 

(b) $\mathrm{Aut}(\Omega)$ �Ɂu$\{ f_j \} \subset \mathrm{Aut} (\Omega)$ ��
$\Omega$ ��L�`��l�Ɏ�������Ƃ�, $\{ f_j \}$ �� $\mathrm{Aut}(\Omega)$
�ɂ����Ď�������Ƃ���v�Ƃ����悤�ɂ��Ĉʑ�������. ���̂Ƃ�,
$\mathrm{Aut}(\Omega)$ ���R���p�N�g�łȂ��悤�ȗL�E�̈� $\Omega$ �̗����
����.

\prob
$\sigma \in \mathrm{Aut}(\C)$ ���P���ʑ��łȂ��Ƃ�, $\sigma (z)
= z$ �ƂȂ� $z \in \C$ �����݂��Ȃ��̂� $\sigma(z) = z+b \; (b
\neq 0)$ �Ƃ�����Ƃ��ł��邱�Ƃ�����.

\prob
$P(z)$�𕡑f�W����$k$���������Ƃ���D$r\ge 0$�ɑ΂��ĕȐ�$\gamma_r\colon[0,1]\to\C$��$\gamma_r(t)=P(re^{2\pi i\theta})$�ɂ���Ē�`����D

(1) �\���傫��$r$�ɑ΂���$n(\gamma_r,0)=k$�������D

(2) $P$��$r_1\le |z|\le r_2$�ɍ��������Ȃ��Ƃ����$n(\gamma_t,0)$��$t\in[r_1,r_2]$�Œ萔�ł��邱�Ƃ������D

(3) $P(0)\ne0$�ł���Ƃ�$n(\gamma_0,0)$�����߂�D

(4) ��̌��ʂ�p���đ㐔�w�̊�{�藝���ؖ�����D



\bigskip
\noindent
���K����
{\tt http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/$\sim$hirachi/courses/}
����_�E�����[�h�ł��܂��D�u�`�������ڂ��Ă��܂��D


\end{document}



