\documentclass[a4j, 12pt]{jarticle}
\thispagestyle{empty}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}

%---------------------Page Format----------------------
\oddsidemargin=0truecm
\textwidth=16truecm
%---------------------------------------------------------------
\def\l{\lambda}
\def\e{\varepsilon}

\newcommand{\al}{{\alpha}}
\newcommand{\bt}{{\beta}}

\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\Q}{{\mathbb Q}}
\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}
\renewcommand{\Im}{{\operatorname{Im}\,}}

\newcounter{nombre} 
\renewcommand{\thenombre}{\arabic{nombre}}
\newcommand{\prob}{\refstepcounter{nombre}{%
\bigskip\noindent{\bf [\thenombre]\ }}}

\begin{document}
\begin{center}

\setcounter{nombre}{54}

{\large\textbf{��10�񕡑f��͊wII���K (2011�N6��21�����{)}}
\end{center}
\begin{flushright}
�S������ ���n����/ TA �v�{�q�V�@���{���F
\end{flushright}

\bigskip

�ȉ��̖������̉��K�̎��Ԃ́w�͂��߁x�Ƀ��|�[�g�Ƃ��Ē�o���邱��.


\bigskip
\noindent
\textbf{[R13]}
$0<k<1$ �ɑ΂��ď㔼��� $H$ ��̐����֐� $F$ ��
\[
 F(w)=\int_0^w \frac{dw}{\sqrt{(1-w^2)(1-k^2w^2)}}
\]
�ɂ���Ē�`����D

(a) $F(w)$ �� $w=0$ �ł� Taylor �W�J�� $w^3$ �̍��܂ŋ��߂�D
$z=F(w)$ �̋t�֐� $w=sn(z)$ �� $z=0$ �ł� Taylor �W�J�� $z^3$ �̍��܂ŋ��߂�D

(b) $sn(z)$ �͋����̌����ɂ�� $\mathbb{C}$ ��̗L���^�֐���
��͐ڑ������D$sn(z)$ �̋ɂƗ��������肹��D


\bigskip

�ȉ��͋������\�p�̖��ł��D


\prob
$f$ �� $\omega \in \mathbb{C} \setminus \{ 0 \}$ �������Ƃ��鐮�֐�
�Ƃ���D���̂Ƃ��C$f$ �̕s���_
�i�����C$f(z)=z$ �𖞂��� $z \in \mathbb{C}$�j��������
���݂��邱�Ƃ��ؖ�����D

\prob
$\omega_1, \omega_2$ �� $\omega_1 \omega_2 \ne 0$, 
$\omega_1 / \omega_2 \not\in \mathbb{R}$ �𖞂������f���C
$f(z)$ �𐮊֐��Ƃ���D���܁C���镡�f�� $c_1, c_2$ �����݂���
\[ f(z+\omega_1) = c_1 f(z), \quad f(z+\omega_2) = c_2 f(z) \]
����������Ɖ��肷��D���̂Ƃ��C���镡�f�� $\alpha, \beta$ ��
���݂��āC$f(z) = \alpha e^{\beta z}$ �ł��邱�Ƃ��ؖ�����D

\prob
���� $\displaystyle f(z)= \sum_{m=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(z-m\pi)^2}$��$\mathbb{C}$���$\hat{\mathbb{C}}$�l�����֐��i�L���`�֐��j�Ɏ������邱�Ƃ������C$f(z)$ �̎������Q�����߂�D

\prob ���̖�ł�$n,m\in\mathbb{Z}$�Ƃ���D$R\to\infty$�̂Ƃ����������F
$$
\sum_{1<n^2+m^2<R}\frac{1}{n^2+m^2}=2\pi\log R+O(1)
$$
���ꂩ��$\sum_{nm\ne0}|n+m|^{-2}=\infty$�𓱂��D

\prob
$f$ �� $\omega_1,\omega_2$ �������ɂ��ȉ~�֐��Ȃ�΁C
$f$ �� $\wp$ �� $\wp '$ �̗L���֐��Ƃ��ĕ\���邱�Ƃ������D




\end{document}
(b) $f(z)$ �͔��������� $f''(z)=6 \{ f(z) \}^2 -4 f(z)$ ��
���������Ƃ������D\\
�i�q���g�F$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = 
\frac{\pi^2}{6}$, 
$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^4} = \frac{\pi^4}{90}$ 
�Ȃǂ�p���āC$f(z)$ �� $z=0$ �̂܂��Ń��[�����W�J����D�j

(c) ���̓������ؖ�����D�������C�ϕ��H�͓K���ɑI�Ԃ��̂Ƃ���D
\[ z = \frac{1}{2} \int_{f(z)}^{\infty} \frac{dw}{\sqrt{w^2(w-1)}}. \]