\documentclass[a4j, 10pt]{jarticle}

\usepackage{amsmath, amssymb}
%\usepackage{palatino, mathpazo}

\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}

\begin{document}

\begin{center}
{\large\textbf{��9�񕡑f��͊wI���K (2006�N12��22�����{)}}
\end{center}

\begin{flushright}
�S������ ���n����/ TA �����M��Y���˖{�׎O
\end{flushright}

\smallskip

[1]����[4]�܂ł������āC
���̉��K���ԓ��ɒ�o���Ă��������D
�����͗�����[�߂邽�߂̖��ł����Ď����ł͂���܂���D
���k�⎿��╶���Q�Ƃ͎��R�ɂ��Ă��������D

\bigskip

[1] \textbf{���5'.}

����$f$�͗̈�$\{z \in \C \mid |\mathrm{Im}z| < 1\}$�Ő����ł����āC
�������$\alpha$�ɑ΂���
\[
|f(z)| \le (1+|z|)^{\alpha}
\]
���`���ł݂����Ƃ���D
���̂Ƃ��C
�e���R��$n$�ɑ΂��āC
����萔$C_n$�����݂��āC
�s����
\[
|f(x)| \le C_n (1+|x|)^{\alpha}
\]
��������ł݂������Ƃ������D

\medskip

[2] \textbf{�z���g�s�[}

\noindent
(1) �u�`�m�[�g���Q�Ƃ��āC
��̓����z���g�s�b�N�ł��邱�Ƃ̒�`�������D

\smallskip

\noindent
(2) ���f����$\C$�̒��̓�̓�
\begin{align*}
&\gamma_1 \colon [0,1] \to \C, \quad t \mapsto e^{\pi it}, \\
&\gamma_2 \colon [0,1] \to \C, \quad t \mapsto e^{-\pi it}
\end{align*}
�̓z���g�s�b�N�ł��邱�Ƃ������D

\smallskip

\noindent
(3) �̈�$\C^{*} := \C \setminus \{0\}$�̒��̓�̓�
\begin{align*}
&\gamma_1 \colon [0,1] \to \C, \quad t \mapsto e^{\pi it}, \\
&\gamma_2 \colon [0,1] \to \C, \quad t \mapsto e^{-\pi it}
\end{align*}
�̓z���g�s�b�N�łȂ����Ƃ������D

\medskip

[3] \textbf{�P�A��}

\noindent
(1) �u�`�m�[�g���Q�Ƃ��āC
�̈悪�P�A���ł��邱�Ƃ̒�`�������D

\smallskip

\noindent
(2) Riemann����$\widehat{\C}$���P�A���ł��邱�Ƃ������D

\noindent
(3) ���f����$\C = \widehat{\C} \setminus \{\infty\}$���P�A���ł��邱�Ƃ������D

\smallskip

\noindent
(4) �̈�$\C^{*} := \widehat{\C} \setminus \{0,\infty\}$�͒P�A���łȂ����Ƃ��C
Cauchy�̐ϕ��藝���g���āC
�����D

\medskip

[4] \textbf{�v�Z���K}

\noindent
(1) ��$\C$�𕡑f����$\C$��̒P��Ȑ��ł����ē_$\pm i$��ʂ�Ȃ����̂Ƃ���D
���̂Ƃ��C
�ϕ�
\[
\int_{C} \frac{e^{\pi z}}{(z^2+1)^2} \,dz
\]
���v�Z����D

\smallskip

\noindent
(2) �C�ӂ̎���$y$�ɑ΂��ē���
\[
\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\R} e^{-\frac{x^2}{2}} e^{ixy} \,dx = e^{-\frac{y^2}{2}}
\]
�������D

\newpage

\begin{center}
{\large\textbf{��9�񃌃|�[�g��� (2006�N12��22���o��)}}
\end{center}

\smallskip

[1]��[2]����������̉��K�Œ�o���Ă��������D
�𓚂ɂ�A4�Ń��|�[�g�p����p���āC
�����Ɗw�Дԍ��Əo������L�����\����t���āC
�������ɂ킽��ꍇ�ɂ̓z�b�`�L�X�Ŏ~�߂Ă��������D
���ꂪ����Ă��Ȃ��ꍇ�ɂ͍̓_���܂���D
���̃��|�[�g�͐��тɂ͒��ڂ͊֌W���Ȃ��̂ŁC
�떂�������ƂȂ������ɋL�q���Ă��������D
���K�ւ̊�]�⎿��������Ă�������΁C
����ɔ��f����悤�ɓw�͂��܂��D

\bigskip

[1] \textbf{revenge}

��7�񃌃|�[�g���[1]�͒N�������Ă���Ȃ������̂ł����C
�Ȃ��Ȃ��������낢�s�������Ǝv���̂ŁC
�U����t���čĂяo�肵�܂��D
�������l�͏���͌��Ȃ��ł�����x�l���Ă݂Ă��������D

����$f(z)$�͒P�ʊJ�~��Ő����ŋ��E�܂ŘA���Ɋg���ł���Ƃ���D
���̂Ƃ��C
�C�ӂ̐�����$p$�ɑ΂��ĕs����
\[
\int_{-1}^1 |f(z)|^p \,|dz| \le \frac{1}{2} \int_{|z|=1} |f(z)|^p \,|dz| 
\quad \cdots (*)
\]
�����������D
�A���C
���ӂ͎������ϕ����āC
�E�ӂ͒P�ʉ~�����ϕ����Ă���D

\noindent
(1) $p=2$�ŁC
$f$�����E�܂Ő����Ɋg���\�ŁC
������ł͎����l���Ƃ�Ƃ��ɁC
�s����$(*)$�������D

\noindent
(2) $p=2$�ŁC
$f$�����E�܂Ő����Ɋg���\�ȂƂ��ɁC
�s����$(*)$�������D

\noindent
(3) $p=2$�̂Ƃ��ɁC
�s����$(*)$�������D

\noindent
(4) $f$���P�ʊJ�~���ɗ�_�������Ȃ��Ƃ��ɁC
�s����$(*)$�������D

\noindent
(5) ����$g$�͒P�ʊJ�~��Ő����Ƃ���D
�C�ӂ̎���$0 < \rho < 1$�ɑ΂���
�J�~��$D_{\rho} := \{ |z| < \rho\}$���$g$�̗�_��$\{z_1, \ldots, z_n\}$�Ƃ���D
����ɁC
����$G_{\rho}(z)$��
\[
G_{\rho}(z) := \frac{\rho(z-z_1)}{\rho^2 - \bar{z_1}z} \cdots 
\frac{\rho(z-z_n)}{\rho^2 - \bar{z_n}z}
\]
�Œ�߂�D
���̂Ƃ��C
����$g(z)/G_{\rho}(z)$��$D_{\rho}$��Ő����ł����_�������Ȃ����Ƃ������D

\noindent
(6) ��ʂ̏ꍇ�ɕs����$(*)$�������D

\bigskip

[2] \textbf{�ȒP�ȕs����}

�C�ӂ̐�����$r$�ɑ΂��ĕs����
\[
\int_0^{\infty} e^{-r \sin \theta} \,d\theta < \frac{\pi}{r}
\]
�����藧���Ƃ������D

\vfill
\textbf{���f��͊wI�T�C�g�ł͉��K�Ŕz�z����v�����g��u�`�������ڂ��Ă��܂�:
\begin{center}
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~hirachi/courses/complex1-2006/
\end{center}}

\hfill (���쐬: �����M��Y)
\end{document}