\documentclass[a4j, 10pt]{jarticle}

\usepackage{amsmath, amssymb}

\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\def\H{{\mathbb H}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\Re{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}

\begin{document}

\begin{center}
{\large\textbf{��6�񕡑f��͊wI���K���� (2006�N11��17�����{)}}
\end{center}

\begin{flushright}
�S������ ���n����/ TA �����M��Y�E�˖{�׎O
\end{flushright}


\bigskip

[1]

\noindent
�ȒP�̂��ߕ�Ԃ̏ꍇ���l����D
�֐��������ł���Ƃ��������͋Ǐ��I�Ȃ��̂ł��邩��CMorera�̒藝���C���̂��Ƃ������Ώ\���ł���G
$B:=\{z \in \C\hskip 4pt| \hskip 4pt |\mathrm{Re}z| \le 1, |\mathrm{Im}z| \le 1\}$�̋ߖT��Œ�`���ꂽ�A���֐�$g$��
�����̕�W���̏�Ő����ł���Ƃ��C
\[ \int_{\partial B}{g(z) \, dz} = 0\]
�ł���D�������C$\partial B$��$B$�̋��E�ł���C�����v����Ɍ������Ƃ������̂Ƃ���D
������$0 \le \varepsilon < 1$�Ȃ�C�ӂ�$\varepsilon$�ɂ�����
$B_{\varepsilon}^+$��$1+i, -1+i,-1+i\varepsilon, 1+i\varepsilon$�𒸓_�Ƃ��钷���`�C
$B_{\varepsilon}^-$��$1-i, -1-i,-1-i\varepsilon, 1-i\varepsilon$�𒸓_�Ƃ��钷���`�Ƃ��C������������v���Ɍ���������Ă����ƁC
\[
\int_{\partial B}{g(z) \, dz} = \int_{B_{0}^+}{g(z) \, dz} + \int_{B_{0}^-}{g(z) \, dz}
= \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{B_{\varepsilon}^+}{g(z) \, dz} + \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{B_{\varepsilon}^-}{g(z) \, dz}
= 0
\]

�ƂȂ�C�����ꂽ�D

\medskip

[2] 

\noindent
$\displaystyle \frac{\log(1+z)}{z}
=1-\frac{z}{2}+\frac{z^2}{3}-\frac{z^3}{4}+\cdots
=1-\frac{z}{2}+z^2g(z)$�Ƃ���.�i������$g(0)=\frac{1}{3}$�j�����
$\displaystyle e^{w+1}=e+ew+\frac{ew^2}{2}+\frac{ew^3}{6}+\cdots
=e+ew+\frac{ew^2}{2}+w^3h(w)$
�Ƃ���.�����ŁC�������a���l����ƕ����邱�Ƃ����C
�ǂ�������_�̋ߖT��$g,h$�͐����֐��ł���.
����āC���_�̋ߖT��
\[
(1+z)^{\frac{1}{z}}
=e\left(1-\frac{z}{2}+z^2g(z)+\frac{1}{2}(-\frac{z}{2}+z^2g(z))^2
+(-\frac{z}{2}+z^2g(z))^3h\left(-\frac{z}{2}+z^2g(z)\right)\right)
\]
������C
\[
\lim_{z \to 0}\frac{(1+z)^{\frac{1}{z}}-e+\frac{ez}{2}}{z^2}
=\lim_{z \to 0}\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}+zg(z))^2+g(z)=\frac{11}{24}
\]
�ƂȂ�.


\medskip

[3]

\noindent
$\{h_n\}_{n=1}^{\infty}$��$Z:= \{z \in \Omega\hskip 4pt| \hskip 4pt g(z) = 0 \}$�̕�W���̏�ōL�`��l�������邱�Ƃ͂悢�D
���Ƃ�$\{h_n\}_{n=1}^{\infty}$��$Z$�̊e�_�̋ߖT�ň�l�������邱�Ƃ������΂悢���C$Z$�͗��U�W���ł��邩��C
$\{h_n\}_{n=1}^{\infty}$�����_���S�̒P�ʉ~��$\Delta (1)$��̐����֐��̗�ł���C
$\Delta (1) \setminus \{ 0 \}$��L�`��l�������Ă���Ƃ��āC$\Delta (1)$��ł��L�`��l�������邱�Ƃ������΂悢�D
���ہC$A:= \{z \in \Delta (1)\hskip 4pt| \hskip 4pt 1/4 \le |z| \le 3/4 \}$�ƒu���ƁC$\{h_n\}_{n=1}^{\infty}$��$A$���l�������C
\[
\sup_{|z| < 1/4}|h_n(z)-h_m(z)| \le \sup_{z \in A}|h_n(z)-h_m(z)| \to 0 \qquad (m,n \to \infty)
\]
�����ŁC$|z| < 1/4$�Ȃ�e$z$�ɂ������āC$z$�𒆐S�Ƃ��锼�a$1/2$�̉~�����Cauchy�̕]�������g�������C
����ȍ~�ɍu�`�Ŏ������ő�l�̌�����F�߂Ă��܂��΁C���̂悤�ȉ�肭�ǂ��c�_�͕K�v�������D


\newpage

[4]

\noindent
$\Omega$�͊J�W��������$r>0$���Ƃ���$\displaystyle B_{2r}(w)=
\{ z \in \C\hskip 4pt | \hskip 4pt |z-w| \leq 2r\}
\subset \Omega$�����藧�悤�ɂł���.
���̎��C$\displaystyle B_{r}(w)=
\{ z \in \C\hskip 4pt | \hskip 4pt |z-w| \leq r\}$���$f,g$��
�e�[���[�W�J�ł��Ĕ����W���Ɋւ��鉼�肩��C
$\displaystyle f(z)=\frac{f^{(n+1)}(w)(z-w)^{n+1}}{(n+1)!}+\cdots$�C
$\displaystyle g(z)=\frac{g^{(n+1)}(w)(z-w)^{n+1}}{(n+1)!}+\cdots$
�ƂȂ�.�O�̖�Ɠ��l��$F(w)=G(w)=1$�Ƃ���
$\displaystyle f(z)=\frac{f^{(n+1)}(w)}{(n+1)!}(z-w)^{n+1}F(z)$�C
$\displaystyle g(z)=\frac{g^{(n+1)}(w)}{(n+1)!}(z-w)^{n+1}G(z)$
�ƍŒ᎟�ׂ̂��������肾���āC�Ɍ����Ƃ�΁C���ɂ���l�ɂȂ�.

\bigskip

\textbf{���f��͊wI�T�C�g�ł͉��K�Ŕz�z����v�����g��u�`�������ڂ��Ă��܂�:
\begin{center}
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}hirachi/courses/complex1-2006/
\end{center}}

\hfill (�𓚍쐬: �˖{�׎O)
\end{document}
