\documentclass[a4j, 10pt]{jarticle}

\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{palatino}
\usepackage{ascmac}

\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}

\begin{document}

\begin{center}
{\large\textbf{��5�񕡑f��͊wI���K���� (2006�N11��10�����{)}}
\end{center}

\begin{flushright}
�S������ ���n����/ TA �����M��Y���˖{�׎O
\end{flushright}

\smallskip

\begin{itembox}[l]{\textbf{���K�|�C���g}}
\begin{itemize}
\item �敪���ϖ@��Riemann�ϕ��̒�`�D
\item Cauhcy�̕]�����Ƃ��̏ؖ��DLiouville�̒藝�D
\item ���f��͊wI�̃|�C���g��Cauchy�̐ϕ��藝�̎g�����Ɋ���邱�Ƃł��D
\end{itemize}
\end{itembox}

[1] \textbf{Cauchy�̐ϕ��藝}

�܂��͍��ӂ̘a�̋Ɍ���ϕ��ɏ��������܂��D
������敪���ϖ@�ł��ˁD
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f(r\exp(\frac{2 \pi k}{n}i)) 
= \int_0^{1} f(re^{i\pi\theta}) \,d\theta
\]
�Ƃ���ŁC
�ǂ����Ă��̂悤�ȏ����������������̂ł��傤���D
�����ɋ�������C
Riemann�ϕ��̒�`�Ƃ��̎��ӂ𕜏K���܂��傤�D
$f$�͘A���Ȃ̂ŉϕ��ł����āC
�������������ϕ��Ȃ��
�ǂ�ȕ����̑I�ѕ������Ă�Riemann�a�͐ϕ��l�Ɏ�������̂ł����D
���ɁC
���̐ϕ�����ϕ��ɏ��������Ă���C
Cauchy�̐ϕ��������g���܂��D
\[
\int_0^{1} f(re^{i\pi\theta}) \,d\theta
= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(re^{i\theta}) \,d\theta 
= \frac{1}{2\pi} \int_{|z|=r} \frac{f(z)}{iz} \,dz 
= f(0).
\]
����őS�Ď�����܂����D

\bigskip

[2] \textbf{Cauchy�̕]��}

Cauchy�̕]�������܂��g���܂��D

�܂���Cauchy�̕]�����C
�C�ӂ�$r\in(0,1)$��
\[
g^{(n)}(0) \le \sup_{|\zeta|=r}f(\zeta) \cdot \frac{n!}{r^n}
\]
�ł��D
�܂��C
����$g(z) \le 1/(1-|z|)$���
\[
\sup_{|\zeta|=r} f(\zeta) \le \frac{1}{1-r}
\]
�ł��D
���������킹��΁C
���ǁC
�C�ӂ�$r\in(0,1)$��
\[
g^{(n)}(0) \le \frac{n!}{r^n(1-r)} \quad \cdots \quad (*)
\]
�����藧�Ƃ킩��܂��D
�Ƃ���ŁC
$r\in(0,1)$�ł�
\[
\frac{n!(n+1)^{(n+1)}}{n^n} \le \frac{n!}{r^n(1-r)}
\]
�ł��D
��$(*)$�̍��ӂ�$r$�Ɉˑ����Ă��Ȃ����Ƃɒ��ӂ���΁C
����܂őS�Ă����킹�āC
\[
g^{(n)}(0) \le \frac{n!(n+1)^{(n+1)}}{n^n}
\]
�𓾂܂��D
���ꂪ�����������Ƃł����D

���Ȃ݂ɁC
���̕]���͍ŗǂł͂���܂���D
����͔�r�I�ȒP�Ɏ����܂��D
�ł��C
�ŗǂ̕]�����킽���͒m��܂���D
�킩�����狳���Ă��������D

\bigskip

[3] \textbf{Cauchy�̕]��}

������Liouville�̒藝�ł��D
�����̊��炩�Ȕ����ł͂��̖��̂悤�Ȏ咣�͑S�R���藧���܂���D
�����̐��������_�Ԍ�����[���ł��D

���āC
�ؖ����Ă݂܂��傤�D
$h$�����X$k$���ł��邱�Ƃ����������̂ł����D
����ɂ�$h$��$k+1$�������W�����e�_�ŏ����Ă��邱�Ƃ������Ώ\���ł��D
Cauchy�̐ϕ��藝���C
�e�_$a\in\C$�ŁC
�C�ӂ̐�����$r$�ɑ΂���
\[
h^{(k+1)}(a) = \frac{1}{2 \pi i} \int_{|z-a|=r} \frac{h(z)}{(z-a)^{(k+2)}} \,dz
\]
�ł��D
�܂��C
����̕s����$h(z) \le M |z|^k$���C
\[
\left| \frac{h(z)}{(z-a)^{(k+2)}} \right| \le M \cdot \frac{|z|^k}{|z-a|^{(k+2)}}
\]
�ł��D
�Ƃ���ŁC
�~��$\{ |z-a|=r \}$��ł�
$|z| \le |a|+r, |z-a| = r$�ł��D
����āC
�e�_$a\in\C$�ŁC
�C�ӂ̐�����$r$�ɑ΂���
\[
|h^{(k+1)}(a)| \le \frac{M}{2 \pi i} \cdot \frac{(|a|+r)^k}{r^{(k+2)}}
\]
�����藧���Ƃ��킩��܂����D
���ӂ�$r$�ɂ͈ˑ����Ă��Ȃ����Ƃɒ��ӂ��܂��傤�D
�]���āC
$r\to\infty$�Ƃ���΁C
���]��$h^{(k+1)}(a)=0$�������܂��D
���Ȃ킿�C
$h^{(k+1)}$�͊e�_�ŏ����Ă��邱�Ƃ��킩��܂����D
���ꂪ�����������Ƃł����D

���Ȃ݂ɁC
���̖��ł͌��_�ł̑���x�܂Ŏw�肳��Ă���̂ŁC
$h$��$0$��$k$���P�����ł��邱�Ƃ܂Ŏ����܂��D
�l���Ă݂Ă��������D

\bigskip

[4] \textbf{�ϕ��̌v�Z}

$a,b$���������̏ꍇ�Ɍv�Z���Ă݂܂��D
Cauchy�̐ϕ������ɋA�������܂��D

�܂��C
$z := a \cos \theta +ib \sin \theta$�Ƃ����Ƃ��ɁC
\[
\mathrm{Im} \left( \frac{1}{z} \frac{dz}{d\theta} \right)
= \frac{ab}{a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta}
\]
�����藧���Ƃɒ��ӂ��܂��D
���ꂪ�~�\�ł��D
����ɋC�t���ΊȒP�ŁC
\[
2ab \int_0^{\pi} \frac{d\theta}{a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta}
= \int_0^{2\pi} \mathrm{Im} \left( \frac{1}{z} \frac{dz}{d\theta} \right) \,d\theta
= \mathrm{Im} \int_{C} \frac{dz}{z}
= 2\pi.
\]
�A���C
�Ȑ�$C$�͑ȉ~$x^2/a^2+y^2/b^2=1$�ɐ��̌�����t�������̂ł��D
���ϕ���$dz$�ϕ��ɏ���������Ƃ���$1/z$���K�v�Ȃ��Ƃɒ��ӂ��܂��傤�D
�Ō�̓�����Cauchy�̐ϕ��藝�ł��D

\bigskip

\vfill
\textbf{���f��͊wI�T�C�g�ł͉��K�Ŕz�z����v�����g��u�`�������ڂ��Ă��܂�:
\begin{center}
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~hirachi/courses/complex1-2006/
\end{center}}

\hfill (�����쐬: �����M��Y)
\end{document}