\documentclass[a4j, 10pt]{jarticle}

\usepackage{amsmath, amssymb}

\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\def\H{{\mathbb H}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Re{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}

\begin{document}

\begin{center}
{\large\textbf{��4�񕡑f��͊wI���K (2006�N10��27�����{)}}
\end{center}

\begin{flushright}
�S������ ���n����/ TA �����M��Y�E�˖{�׎O
\end{flushright}

\smallskip

[1]����[4]�܂ł��������̉��K���ԓ��ɒ�o���Ă��������D
�����͗�����[�߂邽�߂̖��ł����Ď����ł͂���܂���D
���k�⎿��╶���Q�Ƃ͎��R�ɂ��Ă��������D

\bigskip

\noindent [1]
���̐ϕ����v�Z����D�������ϕ��a�H�͂��ׂĐ��̌����ɂƂ���̂Ƃ���D
\begin{align*}
&\text{(1)}\ 
\int_{|z|=1} |z-1|\,|dz|\qquad\qquad\quad
\text{(2)}\ 
\int_{|z|=1} e^z z^{-n}\,dz,\\
&\text{(3)}\ 
\int_{|z|=2}\frac{dz}{z^2+1},\qquad\qquad\qquad\,
\text{(4)}\ 
\int_{|z|=1}|z-\alpha|^{-4}\,|dz|\quad (|\alpha|\neq 1 ).
\end{align*}


\medskip

\noindent [2]
$\gamma$���敪�I$C^1$�Ȑ��A$f(\zeta)$�� 
$\gamma$�̑��̏�Œ�`���ꂽ�A���֐��Ƃ���B
���̂Ƃ�
$$
F(z)=\int_\gamma \frac{f(\zeta)}{\zeta-z}d\zeta
$$
��Riemann���� $\hat\C=\C\cup\{\infty\}$�ł�$\gamma$�̑��̕�W����ŘA���ł��邱�� 
������ (������$F(\infty)$�͓K���ɒ�߂�)�B

\medskip

\noindent [3]
$f:\C\setminus\{0\} \to \C$��$f(z)=\frac{\sin z}{z}$�Œ�`����D
$f$�͌��_�ł͒�`����Ă��Ȃ����C$f(0)=1$�Ƃ��邱�ƂŁC
$f:\C \to \C$�̐����֐��Ƃ݂Ȃ��邱�Ƃ��ؖ�����D

\medskip

\noindent [4]
$f(z)$��$|z|\leq R$�Ő����Ȋ֐��Ƃ���. 
������, $i = \sqrt{-1}$�Ƃ���.
\begin{itemize}
\item[(1)]
$0 < r \leq R$�ƂȂ�$r$�ɂ������Ď������藧���Ƃ�����.
\[
\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(re^{i \theta}) d\theta 
=
f(0).
\]
\item[(2)]
���̐ϕ����v�Z����. ������, $z=x+i y$�Ƃ���.
\[
\int \int_{|z| \leq R} f(z) dx dy .
\]
\end{itemize}


\newpage

\begin{center}
{\large\textbf{��4�񃌃|�[�g��� (2006�N10��27���o��)}}
\end{center}

\smallskip

[1]����[2]�܂ł���������̉��K�Œ�o���Ă��������D
�𓚂ɂ�A4�Ń��|�[�g�p�����g���C
�������ɂ킽��ꍇ�ɂ̓z�b�`�L�X�Ŏ~�߂Ă��������D
���ꂪ����Ă��Ȃ��ꍇ�ɂ͍̓_���܂���D
���̃��|�[�g�͐��тɂ͊֌W���Ȃ��̂ŁC�떂�������ƂȂ������ɋL�q���Ă�����
���D
���K�ւ̊�]�⎿��������Ă�������΁C����ɔ��f����悤�ɓw�͂��܂��D

\bigskip



\bigskip

\noindent [1]
$f(z)$��$\mathbb{C}$���$C^2$���֐��Ƃ���Ƃ��C�ӂ̋敪�I$C^1$�Ȑ��ɂ�����
$$
\int_\gamma \frac{\partial f}{\partial z}dz+
\frac{\partial f}{\partial\overline{z}}d\overline{z}=0
$$
�������B

\bigskip

\noindent [2]
$f$��$\left\{z\in\C;|z|\le1\right\}$���܂ޗ̈�Ő����Ƃ���D���̂Ƃ�
\begin{align*}
\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=1}\frac{\overline{f(z)}}{z-a}d{z}
=\left\{
\begin{array}{ll}
\overline{f(0)},&|a|<1,\\
\overline{f(0)}-\overline{f\left(\bar{a}^{-1}\right)},
&|a|>1,
\end{array}
\right.
\end{align*}
�ł��邱�Ƃ������D

\noindent
�q���g�F�܂�$z=e^{i\theta}$�ƃp�����[�^�\�����C�ϕ������������D
�����$\overline{f(\overline{z})}$��p�����ϕ��ɏ��������D
$\overline{f(\overline{z})}$�������ł��邱�Ƃ�p����D
\medskip






\bigskip

\textbf{���f��͊wI�T�C�g�ł͉��K�Ŕz�z����v�����g��u�`�������ڂ��Ă��܂�:
\begin{center}
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}hirachi/courses/complex1-2006/
\end{center}}
\vfill
\hfill (���n+�˖{�쐬)
\end{document}
