\documentclass[a4j, 10pt]{jarticle}

\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{palatino}
\usepackage{ascmac}

\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}

\begin{document}

\begin{center}
{\large\textbf{��3�񕡑f��͊wI���K���� (2006�N10��20�����{)}}
\end{center}

\begin{flushright}
�S������ ���n����/ TA �����M��Y���˖{�׎O
\end{flushright}

\smallskip

\begin{itembox}[l]{\textbf{���K�|�C���g}}
\begin{itemize}
\item ���w�ŗp���錾�t�̑S�Ăɂ͒�`������D
\item �S�Ă̌�����藝�ɂ́C���肪����C���_������D�����͐������g���D�����@�͉���̌��D
\item �c�_�͘_���I�ɐi�߂�D�O�i�_�@���ӎ�����D
\item ���ϕ��CCauchy-Riemann�������C���ʔ����CCauchy-Hadamard�̌����C�W����r�@
\end{itemize}
\end{itembox}

[1] \textbf{���ϕ�}

���ϕ��̒�`�ɏ]���Čv�Z���܂��D
���w�̒��ۓI�Ȓ�`����̓I�Ȍv�Z�ɓK�p���Ă݂�̂́C
������[�߂邽�߂̏d�v�ȍ�Ƃł��D
���Ȃ݂ɁC
Green�̌�����Cauchy�̐ϕ�������p����ƒ������y�`���ł��D
�������C
�����͎g������ɂ͐������g���܂��傤!!

��: $450 \pi i, 0, 2 \pi i.$

\bigskip

[2] \textbf{��������}

�ȒP�ł������Ă݂܂��D

���f���l����$Q(z)=a+bz+c\bar{z}$�������ł���Ƃ�Cauchy-Riemann������
\[
\frac{\partial Q}{\partial \bar{z}}(z) = 0
\]
���[�������Ƃł����D
���̏ꍇ�C
$\partial Q / \partial \bar{z}$�͊ȒP�Ɍv�Z�ł��āC
\[
\frac{\partial Q}{\partial \bar{z}}(z) = c
\]
�ł��D
����āC
\[
Q(z) \text{������.}
\iff
\frac{\partial Q}{\partial \bar{z}}(z) = 0
\iff
c=0
\]
���킩��܂����D

���āC
Cauchy-Riemann��p�f
$\partial / \partial \bar{z}$
�̒�`��Y��Ă�����C
�����ɕ��K���܂��傤!!
���f�����\�ł��邱�Ƃ�
Cauchy-Riemann���������[�������Ƃɓ��l�ł����D
���̂ł��傤��??

\bigskip

[3] \textbf{�w������}

\noindent
(1) �u�`�ł͎w�������̓x�L�����ɂ���`����܂����D
�������a$\infty$�̃x�L����$\sum z^n/n!$����߂�
�S���ʂŐ����Ȕ������w������$e^z$�ƌĂт܂��D

\noindent
(2) �Ȃ�ƂȂ��������𓚂𑲋Ƃ��܂��傤�D
�����łȂ��ƔF�����ė~�����|�C���g�𗅗񂷂�΁C
\begin{itemize}
\item �x�L�����͂��̎������a���Ő�Ύ�������D
\item ���ł����ʔ����\�Ƃ����킯�ł͂Ȃ��D
\item ����$f$�͒l��$0$�ɂȂ邩������Ȃ��D���Ɋ���Z�ɒ��ӁD
\item ����������Taylor�W�J�ł��āC����͎������g�ƈ�v����D���̎������a�D
\item ���炩�Ȕ�����Taylor�W�J����߂锟���͎������g�ƈقȂ邱�Ƃ�����D���̋�̗�D
\item ��̃x�L�����͌W������v����Έ�v����D
\item ������������̉��̈�Ӑ��D
\end{itemize}
�����͑S�ďؖ���v����[�������ł��D

���͂Ƃ�����ؖ����Ă݂܂��D
(1)�Œ�`���ꂽ�w�������͗^����ꂽ�������������[�����܂��D
�����Ńx�L���������̎������a���ō��ʔ����\�Ȃ��Ƃ��g���܂����D
����ɁC
\[
e^z \cdot e^{-z}
= \left( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \right)
\cdot \left( \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-z)^m}{m!} \right)
= \sum_{\mu=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\mu} 
\frac{z^{(\mu-k)}}{(\mu-k)!} \frac{(-z)^k}{k!}
=1
\]
���킩��܂��D
���ɑS���ʂ�$e^z \ne 0$�ł��D
�����Ńx�L�������������a���ň�l�������邱�ƂƑ�2�񉉏K[3]���g���܂����D
���āC
$f$�͗^����ꂽ�������������[�����̂ŁC
\[
(f(z) e^{-z})' = f'(z) e^{-z} + f(z) (-e^{-z}) = f(z) e^{-z} - f(z) e^{-z} = 0
\]
���C
$f(z) e^{-z}$�͒萔�ł��D
�����ŕ��f��������$0$�ł��锟�����萔�ł��邱�Ƃ��g���܂����D
�Ƃ��낪�C
$f(0) e^{-0} = 1$�ł��D
����āC
�S���ʂ�
\[
f(z) e^{-z} = 1
\iff
f(z) = e^z
\]
�����藧���܂��D
���ꂪ�����ׂ����Ƃł����D

\bigskip

[4] \textbf{�������a�̌v�Z���K}

�������a�����߂�����𕜏K���܂��傤�D
���̏ؖ����܂߂ė�������΂Ȃ��Ȃ��Y��܂���D
��X���w�҂͗������邽�߂ɏؖ�����̂ł��D
�Ƃ���ŁC
��Ɍ�$\limsup$�ƋɌ�$\lim$���قȂ�ȒP�Ȑ���̗��
$1+(-1)^n$�ł��D
��Ɍ���$2$�ł����C�Ɍ��͑��݂��܂���ˁD
���Ȃ݂ɁC
�Ɍ������݂���Ȃ�΁C
����͏�Ɍ��ƈ�v���܂��D

(1) Cauchy-Hadamard�̌������g���܂��D
\[
\log(\sqrt[n]{n^{\log n}}) = \frac{(\log n)^2}{n}
\xrightarrow{n \to \infty} 0
\]
�ɋC�t���΁C
�������a��$1$���Ƌ��܂�܂��D

(2) ���̃x�L�����̌W���͏��$0$�ł͂Ȃ��̂ŁC
�W����r�@���g���܂��D
\[
\frac{n! / n^{n}}{(n+1)! / (n+1)^{(n+1)}}
= \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n
\xrightarrow{n \to \infty} e
\]
���C
�������a��$e$���Ƃ킩��܂����D

\bigskip

\vfill
\textbf{���f��͊wI�T�C�g�ł͉��K�Ŕz�z����v�����g��u�`�������ڂ��Ă��܂�:
\begin{center}
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~hirachi/courses/complex1-2006/
\end{center}}

\hfill (�����쐬: �����M��Y)
\end{document}