\documentclass[a4j, 10pt]{jarticle}

\usepackage{amsmath, amssymb}

\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\N}{{\mathbb N}}

\begin{document}

\begin{center}
{\large\textbf{��1�񕡑f��͊wI���K���� (2006�N10��6�����{)}}
\end{center}

\begin{flushright}
�S������ ���n����/ TA �����M��Y
\end{flushright}

\smallskip

[1] \textbf{$\epsilon$-$\delta$�_�@�̕��K}

����͂������ɂ悭�o���Ă��܂����D
�댯��������҂͊e���ŕ��K���Ă��������D
���ꂩ��̐��w�Ȑl���̐�s���ɕs������������C
���ł����k�ɗ��Ă��������D
�������܂��Ԃɍ����܂��D
�}���Ή��D

\bigskip

[2] \textbf{Gauss-Lucas�̒藝}

������$P(z)$�̗�_���S�ď㔼����$H$���ɂ���΁C
���̔���$P'(z)$�̗�_���S��$H$���ɂ���C
�������Ă݂܂��D
$P(z)$�̎�����$n$�Ƃ��܂��D

�܂��C
�㐔�w�̊�{�藝�ɂ��C
���f��$a,\alpha_1,\cdots,\alpha_n$�����݂��āC
\[
P(z) = a(z-\alpha_1)\cdots(z-\alpha_n)
\]
�ƈ��������ł��܂��D
�����ŁC
���肩��C
�C�ӂ�$j=1,\cdots,n$��
$\mathrm{Im}[\alpha_j]>0$�����藧���܂��D
���āC
�C�ӂ̓_$w \in \C \setminus H$�ɂ����āC
$P(w) \ne 0$�ł���C
�C�ӂ�$j=1,\cdots,n$��$\mathrm{Im}[w-\alpha_j] < 0$
�����藧���ƂɁC
���ӂ��܂��傤�D
����ƁC
\[
\mathrm{Im} \left[ \frac{P'(w)}{P(w)} \right] = 
\mathrm{Im} \left[ \sum_{j=1}^n \frac{1}{w-\alpha_j} \right]
> 0
\]
���킩��܂��D
����āC
���ɁC
$P'(w) \ne 0$�ł��D
���ꂪ�����ׂ����Ƃł����D

��ʂ̏ꍇ�����l�ł��D
���̖��͑�w�������x���ł��ˁD

\bigskip

[3] \textbf{��l����}

\noindent
(1), (2) ���D

\noindent
(3) �N���o���Ă��܂���ł����D�����ڂ���������܂��D

���������̎������ɒ��ڂ���΁C
$-\pi \le x \le \pi$�͈̔͂𒲂ׂ�΂悢�킯�ł��D

�܂��C
$x=\pm \pi$�̂Ƃ��͗���$=0$�ł��D

���ɁC
$0< \epsilon \le \pi$�ɑ΂��āC
$|x| \le \pi - \epsilon$�̂Ƃ����l���܂��傤�D
\[
z := r e^{ix}, 1+z :=Re^{i \psi} \quad(r,R \in \R_{\ge 0}, |\psi| < \pi)
\]
�Ƃ����Ƃ��C
�C�ӂ�$N \in \N$��
\[
\log(1+z) = z - \frac{z^2}{2} + \cdots + (-1)^{(N-1)}\frac{z^N}{N}
+ \int_0^z \frac{w^N}{1+w} \,dw
\]
�ƓW�J�ł��܂��D
���̓W�J�̋������Ƃ��āC
\[
\psi = r \sin x - \frac{r^2 \sin 2x}{2} + \cdots + 
(-1)^{(N-1)}\frac{r^N \sin Nx}{N} + \mathrm{Im} 
\left( \int_0^z \frac{w^N}{1+w} \,dw \right)
\]
���킩��܂��D
���ǁC
\[
R_N := \int_0^z \frac{w^N}{1+w} \,dw
\]
��$N \to \infty$�ł̋����𒲂ׂ�΂悢�킯�ł��D

���āC
$|z|<1, |x|< \pi - \epsilon$�̂Ƃ��C
\[
|1+z| > 1 - \cos \epsilon
\]
�ƂȂ邱�Ƃɒ��ӂ���΁C
\begin{align*}
|R_N| &= \left| \int_0^z \frac{w^N}{1+w} \,dw \right| 
= \left| \int_0^1 \frac{z^N t^N}{1+z} z \,dt \right| \\
&\le \frac{|z|^{(N+1)}}{1-\cos \epsilon} \int_0^1 t^N \,dt 
\le \frac{1}{(1-\cos \epsilon)(N+1)}
\end{align*}
�ƕ]�����o���܂��D
����āC
$r \le 1, |\psi|<\pi - \epsilon$�Ȃ�΁C
$N \to \infty$�̂Ƃ��C
$R_N$�͈�l��$0$�Ɏ������܂��D
���ɁC
$r=1$�̂Ƃ��ɂ́C
$2x=\psi$�ł����D
�]���āC
���܂őS�Ă����킹��΁C
$|x| < \pi$�Ȃ�΁C
��l��
\[
\frac{x}{2} = \sin x - \frac{\sin 2x}{2} + \frac{\sin 3x}{3} - \cdots
\]
�ƂȂ邱�Ƃ��C
�킩��܂��D
���ꂪ�������̒m�肽�����Ƃł����D

\noindent
\textbf{��} ���̋Ɍ�������$x=m\pi (m \in \mathbb{Z})$�ŘA���ł͂���܂���D
�A�������̈�l�����Ɍ��͘A���ł����D
$x=m\pi$�ł͉����N���Ă���̂ł��傤��??

\bigskip

[4] \textbf{�������a}

\noindent
(1) �u�`�m�[�g�Q�ƁD

\noindent
(2) �������a��$1$�ł��D
Cauchy-Hadamard�̌�����p���Ă��悢�ł����C
�����Ƌ��S�R���ɂ��o���܂��D
���̃x�L�������������ɂ߂΁C
$|z|>1$�ł͔��U���C
$|z|<1$�ł͎������邱�Ƃ��C
�����ɂ킩��܂��ˁD
����āC
��`���C
�������a��$1$�ł��D
�f�����]�X�͂������ǂ��ł��D
�x����Ă͂����܂���D

\bigskip

����ŗ����͏I���ł��D
�^�₪����΁C
���ł��u���Ă��������D
�܂��C
�𓚂�̓_�ɊԈႢ�����t���Ă��C
���ł��\���o�Ă��������D
���ꂩ�甼�N�Ԃ�낵�����肢���܂��D

\vfill
\textbf{���f��͊wI�T�C�g�ł͉��K�Ŕz�z����v�����g��u�`�������ڂ��Ă��܂�:
\begin{center}
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~hirachi/courses/complex1-2006/
\end{center}}

\hfill (�����쐬: �����M��Y)
\end{document}