\documentclass[a4j, 10pt]{jarticle}

\usepackage{amsmath, amssymb, ascmac}
\usepackage{palatino, mathpazo}

\newcommand{\Z}{{\mathbb Z}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\newcommand{\R}{{\mathbb R}}


\begin{document}

\begin{center}
{\large\textbf{��11�񕡑f��͊wI���K (2007�N1��26�����{)}}
\end{center}

\begin{flushright}
�S������ ���n����/ TA �����M��Y���˖{�׎O
\end{flushright}

\smallskip

[1]����[4]�܂ł������āC
���̉��K���ԓ��ɒ�o���Ă��������D
�����͗�����[�߂邽�߂̖��ł����Ď����ł͂���܂���D
���k�⎿��╶���Q�Ƃ͎��R�ɂ��Ă��������D

\bigskip

[1] \textbf{��ϕ��̌v�Z}

\noindent
(1) ���̒�ϕ������߂�.
\begin{align*}
&\int^\infty_{-\infty}\frac{\cos nx}{x^4+1} \,dx,
&&\int^\infty_{-\infty}\frac{dx}{1+x^{2n}},
&&\int^\infty_{-\infty}\frac{\sin ^2 x}{x^2} \,dx
\end{align*}

\noindent
(2) ���̒�ϕ������߂�D����͑�w�@�����̉ߋ���ł���D
\[
\int_{-\infty}^{\infty} \cos(\lambda x) \frac{e^x}{1+e^{3x}} \,dx
\quad (\lambda \in \R)
\]

\bigskip

[2] \textbf{$\log$�̑�����}

\noindent
(1) �u�`�m�[�g���Q�Ƃ��āC
���f�֐��Ƃ��Ă̑ΐ��֐�$\log$�̒�`�������D

\noindent
(2) ����
\[
\int_0^{\infty} \frac{x^{\alpha-1}}{1+x} \,dx
=\frac{\pi}{\sin\pi\alpha}\]
�����藧���f��$\alpha$�͈̔͂����߂�D

\bigskip

[3] \textbf{��ϕ��̌v�Z}

\noindent
����
\[
\int_0^{\pi} \log(\sin x) \,dx = -\pi \log 2
\]
�������D

\bigskip

[4] \textbf{�����̘a�̌v�Z}

\noindent
�����v�Z��p���āC
����
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(n-a)^2} = 
\left( \frac{\pi}{\sin \pi a} \right)^2 
\quad (a \in \C \setminus \Z)
\]
�������D

\newpage

\begin{center}
{\large\textbf{��11�񃌃|�[�g��� (2007�N1��26���o��)}}
\end{center}

\smallskip

[1]��[2]����������̉��K�Œ�o���Ă��������D
�𓚂ɂ�A4�Ń��|�[�g�p����p���āC
�����Ɗw�Дԍ��Əo������L�����\����t���āC
�������ɂ킽��ꍇ�ɂ̓z�b�`�L�X�Ŏ~�߂Ă��������D
���ꂪ����Ă��Ȃ��ꍇ�ɂ͍̓_���܂���D
���̃��|�[�g�͐��тɂ͒��ڂ͊֌W���Ȃ��̂ŁC
�떂�������ƂȂ������ɋL�q���Ă��������D
���K�ւ̊�]�⎿��������Ă�������΁C
����ɔ��f����悤�ɓw�͂��܂��D

\bigskip

[1] \textbf{�ő�l�̌���}

��ʂɁC
����$0 < \delta < R$�ɑ΂���
\[
A(R,\delta) := \{z \in \C \mid \delta \le |z| \le R \}
\]
�Ƃ��āC
$A(R,\delta)$�̋��E��$\partial A(R,\delta)$�Ƃ���.

\noindent
(1) ��������$f \colon A(R,\delta) \to \C$�ɑ΂���
\[
\min_{c \in \C} \max_{z \in A(R,\delta)} |f(z)-c| \
\le \ \int_{\partial A(R,\delta)} 2|f'(z)|\,|dz|
\]
�������D

\noindent
(2) ��������$g \colon A(R,1) \to \C$��
\[
|g'|(z) \le \frac{1}{2|z|} \quad (z \in A(R,1))
\]
���[�����Ȃ�΁C
\[
\iint_{A(R^{1/2}e^t,R^{1/2}e^{-t})} 4|g'(z)|^2\, dxdy
\ \le \ 2\pi \frac{e^{2t}}{R} \quad
(0 \le t \le \frac{1}{2} \log R)
\]
�ƂȂ邱�Ƃ������D

\bigskip

[2] \textbf{�����\���ٓ_}

�P�ʊJ�~��$\Delta$�Ƃ��āC
$\Delta^* := \Delta \setminus \{0\}$�Ƃ���D
���̂Ƃ��C
$\Delta^*$��̐�������$f$��
\[
\int_{\Delta^*} |f(z)|^2 \, dxdy < \infty
\]
���[�����Ȃ�΁C
$f$��Laurent�W�J�ɂ͕��̍��͌���Ȃ����Ƃ������D

\vfill
\textbf{���f��͊wI�T�C�g�ł͉��K�Ŕz�z����v�����g��u�`�������ڂ��Ă��܂�:
\begin{center}
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~hirachi/courses/complex1-2006/
\end{center}}

\hfill (���쐬: �����M��Y)
\end{document}