\documentclass[a4j, 10pt]{jarticle}

\usepackage{amsmath, amssymb}

\newcommand{\R}{{\mathbb R}}
\newcommand{\C}{{\mathbb C}}
\def\H{{\mathbb H}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\T{{\mathbb T}}
\def\Re{\mathop{\mathrm{Re}}\nolimits}
\def\Im{\mathop{\mathrm{Im}}\nolimits}
\def\Res{\mathop{\mathrm{Res}}\nolimits}

\begin{document}

\begin{center}
{\large\textbf{��10�񕡑f��͊wI���K���� (2007�N1��12�����{)}}
\end{center}

\begin{flushright}
�S������ ���n����/ TA �����M��Y�E�˖{�׎O
\end{flushright}


\bigskip

[1]


\noindent
\begin{itemize}
\item[(1)]
$1/(z-1)(z-5) = 1/4 \cdot ( 1/(1-z) - 1/(5-z))$�ƕ��������W�J����.\\
$\displaystyle 1/(1-z) = \sum_{k=0}^{\infty} z^k$, 
$\displaystyle 1/(5-z) = \sum_{k=0}^{\infty} z^k/5^{k+1}$�ƂȂ�̂œ�����
$\displaystyle
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{4}\left( 1-\frac{1}{5^{k+1}} \right) z^k.
$
\item[(2)]
$\displaystyle
\frac{1}{(z-2)^2} 
= (-1) \frac{d}{dz} \left( \frac{1}{z-2} \right)
= \frac{1}{2} \frac{d}{dz} \sum_{k=0}^{\infty}\left( \frac{z}{2} \right)^k 
= \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{2^{k+1}}z^{k-1}.
$
\item[(3)]
$\displaystyle
\frac{e^{\frac{1}{z}}}{1-z} 
= \left( \sum_{i=0}^{\infty}z^k \right) \left( \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{j!} z^{-j} \right)
= \sum_{k=-\infty}^{\infty} 
\left( \sum_{i={\rm max}(k,0)}^{\infty}\frac{1}{(i-k)!} \right) z^k.
$
\item[(4)]
$\sin (z/(z-1)) = \sin (1+1/(z-1))$�Ƃ�, $w=1/(z-1)$�Ƃ���.
$\sin(1+w)$��$w=0$�œW�J�����
\[
\sin (1+w) 
= \sin 1 + \cos 1 \cdot w + \cdots 
 + \frac{(-1)^n \sin 1}{(2n)!}w^{2n} + \frac{(-1)^n \cos 1}{(2n+1)!}w^{2n+1}+
 \cdots.  
\]
�����$w=1/(z-1)$��������ƓW�J���𓾂�.
\end{itemize}

\medskip

[2]

\noindent
$\{ |z|=R_n \}$��$|e^z - P_n(z)|<|e^z|$�ł��邱�Ƃ�����΂悢���C$\{ |z|=R_n \}$��$|e^z - P_n(z)| \le {R_n}^{n+1}e^{R_n}/(n+1)!$�ł��邱�Ƃ�p�����
���̂��Ƃ͗e�Ղɂ������߂���D
$($��蕶�ɒǉ�����$Q_n$�ɂ��Ă̒������͌��ł����̂ŁC�폜���������܂����D�\���󂠂�܂���ł����D$)$

\medskip

[3]

\noindent
$\Delta$��$\C$��̒P�ʉ~�Ƃ���D
\begin{enumerate}
\item
����̕s���_��$\alpha,\beta$�Ƃ���D
�K���Ȉꎟ�ϊ��ɂ��$\alpha$��$0$�̏ꍇ�ɋA�������D
���Ȃ킿�C$\varphi(z)=\frac{z-\alpha}{\bar{\alpha}z-1}$, $F
=\varphi^{-1}\circ f\circ \varphi$�Ƃ����ƁC
$\varphi$�͒P�ʉ~��P�ʉ~�ɑo�����ɂ������Ƃ���C
$F$��$|z|<1$�㐳������$|F(z)|<1$�𖞂����C�X��
$0,\varphi^{-1}(\beta)$��s���_�Ƃ���D
$\varphi^{-1}(\beta)\neq 0$�Ȃ̂ŁCSchwarz�̕��ɂ��
$F(z)=e^{i\theta}z$, $\theta\in\R$�Ə�����D
$F(\varphi^{-1}(\beta))=\varphi^{-1}(\beta)$����
$F(z)=z$���킩��C����������
\begin{align*}
f(z)=\varphi\circ F\circ \varphi^{-1}(z)=\varphi\circ \varphi^{-1}(z)
=z
\end{align*}
��������D

\item
$f$���s���_�����Ƃ����炻���$\{ |z|<r \}$��ɂ��邪�C$\{ |z|=r \}$��$|\frac{f(z)-z}{2} + z|<r$������C$f$�͒��x�ЂƂ̕s���_�����D
�������́C$\Delta$���Poincare����������Ċ���������ԂƊŘ􂵁A$f$���k���ʑ��ł��邱�Ƃ�����΂悢�D

\item
$\mathrm{Aut}(\Delta)$�̌��ł����āC��]�ȊO�̂��̂��Ƃ�΂悢�D

\end{enumerate}

\medskip

[4]

\noindent
\begin{itemize}
\item[(1)]
$e^{1/z}$��$z=0$�ł̗�����$1$�Ȃ̂ŗ����藝���ϕ��l��$2\pi i$.
\item[(2)]
$|z|=1$�̓����Ɋ܂܂��ɂ�$z=1$�݂̂ł���.
$z=1$��$2$�ʂ̋ɂ�, ���̗�����$-3e/4$�ł���. 
$z=1$�ɂ����闯���̌v�Z�͎��̂悤�ɂȂ�.
\[ 
\left.
\frac{d}{dz} (z-1)^2 \frac{e^z}{(z-1)^2(z-3)} \right|_{z=1} 
=
\frac{e(1-3)-e}{(1-3)^2}
=
\frac{-3e}{4}.
\]
����������, �ϕ��l��$-3e \pi i/2$.
\item[(3)]
$z=e^{i\theta}$�Ƃ�����$\sin \theta = (z - \bar z)/(2i)$�ƕ\����.
\begin{align*}
\int_0^{2\pi} \frac{1}{a+\sin \theta} 
&= \int_{|z|=1} \frac{1}{a+\frac{z-\bar z}{2i}} \frac{-i}{z}dz \\
&= 2\int_{|z|=1}\frac{1}{z^2 + 2iaz -1} dz \\
&= 2\int_{|z|=1}\frac{1}{(z-i(-a+\sqrt{a^2-1}))(z-i(-a-\sqrt{a^2-1}))} dz
\end{align*}
������$|z|<1$�̒��ɂ���ɂ�$z=i(-a+\sqrt{a^2-1})$�ł���, ���̗�����
$1/(2i\sqrt{a^2-1})$�ł���.
����������, �ϕ��l��$2 \cdot 2\pi i \cdot 1/(2i\sqrt{a^2-1})=2\pi/\sqrt{a^2-1}$
�ƂȂ�.
\item[(4)]
�Ȑ�$C$��$C=\{x \in \R \,|\, -R \leq x \leq R \}\cup 
            \{ Re^{i\theta} \,|\, 0 \leq \theta \leq \pi\}$�Ƃ���.
$C$�̌ʂ̕�����$\Gamma = \{ Re^{i\theta} \,|\, 0 \leq \theta \leq \pi\}$�Ƃ�����.
$C$���$z/(z^4+5z^2+6)$��ϕ����邱�Ƃ��l����.
\[
\int_C \frac{z^2}{z^4+5z^2+6}dz 
= \int_{-R}^R \frac{x^2}{x^4+5x^2+6}dx + \int_{\Gamma} \frac{z^2}{z^4+5z^2+6}dz
\]
�ƕ�������.
$R$��傫���Ƃ����Ƃ�, ���ӂ͗����藝���$C$���̋ɂ̗����̘a��$2\pi i$�����������̂ɂȂ�.
$z/(z^4+5z^2+6)=z/(z^2+2)(z^2+3)$����$C$���̋ɂ�$z=\sqrt{2}i$��$z=\sqrt{3}i$��
�Ȃ�, $z=\sqrt{2}i$�ł̗�����$-\sqrt{2}/2i$, 
$z=\sqrt{3}i$�ł̗�����$\sqrt{3}/2i$�ƂȂ�.
����������, ���ӂ�$2\pi i (-\sqrt{2}/2i + \sqrt{3}/2i)=\pi(\sqrt{3}-\sqrt{2})$�ɂȂ�. \\
���ɉE�ӂ�$R\to \infty$�Ƃ����Ƃ��ɋ��߂�ϕ��ɂȂ邱�Ƃ�����. 
�܂��$2$����$0$�Ɏ������邱�Ƃ�����. 
$R$���\���傫���Ƃ���Ŏ��̂悤�ɕ]���ł���.
\begin{align*}
\left| \int_{\Gamma} \frac{z^2}{z^4+5z^2+6} dz \right|
&\leq \int_{0}^{\pi} \frac{|Re^{i\theta}|^2}{|R^4 e^{4i\theta}+5R^2 e^{2i\theta}+6|}|Rie^{i\theta}d\theta| \\
&\leq \int_0^{\pi} \frac{R^3}{R^4-5R^2-6} d\theta
\end{align*}
�����$R\to \infty$�̂Ƃ���$0$�Ɏ�������. 
����������, ���߂�ϕ��l�͍��ӂ�$1/2$�{����$\pi(\sqrt{3}-\sqrt{2})/2$�ł���.
\end{itemize}

\bigskip

\textbf{���f��͊wI�T�C�g�ł͉��K�Ŕz�z����v�����g��u�`�������ڂ��Ă��܂�:
\begin{center}
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}hirachi/courses/complex1-2006/
\end{center}}
\vfill
\hfill (�𓚍쐬: �˖{�׎O)
\end{document}
