複素余次元１の葉層構造の擬等角変形について

足助太郎（東京大学大学院数理科学研究科）

ここでは葉層構造は横断的に複素解析的であって, 複素余次元が 1 であるとする. つまり, F が M の葉層構造であったとして, C 内の開円盤の disjoint union T = ∐_{i∈I} T_{i} を各 T_{i} が F の葉に横断的であるように適当に M に埋め込むと, そこに誘導されるホロノミー写像 {γ_{ij}}_{i,j∈I} が双正則局所微分同相写像になるとする. これらの γ_{ij} により定まる擬群を Γ_{T} で表す. もし M に境界がある場合には F は ∂M に横断的であるとする. 一般に (M_{1}, F_{1}), (M_{2}, F_{2}) がこのような葉層構造であって, 更に, 葉層構造に加えて横断的な複素構造も保つ微分同相写像 φ : (∂M_{1}, F_{1}|_{∂M_{1}}) → (∂M_{2}, F_{2}|_{∂M_{2}}) が存在すれば, M_{1} ∪_{φ} M_{2} には自然に横断的に複素解析的な葉層構造 F_{1} ∪_{φ} F_{2} が定まる. しかし, φ が単に葉層構造を保つ微分同相写像であったとすると, 一般には F_{1} と F_{2} をそのまま貼り合わせても M_{1} ∪_{φ} M_{2} に横断的に複素解析的な葉層構造が定まるとは限らない. そこで F_{2} の横断的な複素構造を擬等角変形してよいことにすると, 自然な仮定の下で M_{1} ∪_{φ} M_{2} に横断的に複素解析的な葉層構造を作ることが出来る. 定理を述べるために少し用意をする.

定義. T の複素構造の Γ -同変な擬等角変形を (M, F) の擬等角変形と呼ぶ. また, これから自然に得られる M の葉層構造も (M, F) の擬等角変形と呼ぶ.

注意. 擬等角変形によって得られる葉層構造は全て同相である. さて, (M_{1}, F_{1}), (M_{2}, F_{2}), φ を上のような葉層構造と, 境界上の葉層構造を保つ微分同相写像とする. また, (∂M_{2}, F_{2}|_{∂M_{2}}) には φ により F_{1} から定まる横断的な複素構造が定まるが, これを ∂M_{2} のカラー近傍 W に自明な方法で拡張しておく. そして, (W, F_{2}|_{W}) に対して T_{W}, Γ_{T_{W}} を上述の T, Γ_{T} と同様に定め, Γ̃_{T_{W}} を以下のように定める.

定義. Γ̃_{T_{W}} を T_{W} に両端点を持つ F_{2} の leaf paths （F_{2} の葉に含まれる道）から誘導される T の局所微分同相写像により定まる擬群とする. ここで leaf path は W に含まれるとは限らない.

注意. Γ̃_{T_{W}} は W と F_{2} （正確には ∂M_{2} と F_{2}|_{∂M_{2}}）により定まる. 仮に F_{1} から W ⊂ M_{2} に定まった横断的な複素構造が F_{2} の擬等角変形により M_{2} 全体に拡張できたとすれば Γ̃_{T_{W}} は Γ_{T_{W}} の双正則局所微分同相写像による拡大でなければならない. 実は逆も正しい. これが今回の主定理である.

定理. (M_{1}, F_{1}), (M_{2}, F_{2}) を上のような葉層構造とし, ∂M_{1} ≅ ∂M_{2} はコンパクトとする. さらに Γ̃_{T_{W}} は Γ_{T_{W}} の双正則局所微分同相写像による拡大であるとする. このとき, ある F_{2} の擬等角変形 F′_{2} が存在して F_{1} ∪_{φ} F′_{2} は M_{1} ∪_{φ} M_{2} の横断的に複素解析的な葉層構造を定める。

注意. 上述の注意により, 出来上がった葉層 F_{1} ∪_{φ} F′_{2} は F_{1} ∪_{φ} F_{2} と同相である.

定理の証明は次のように行う. まず, M_{2} 上にホロノミー不変な Beltrami 係数を構成する. 実際には (M_{2}, F_{2}) に対して冒頭に述べたような T を T_{W} を含むように取り, T 上に Γ_{T} 不変な Beltrami 係数であって, T_{W} 上では φ によって自然に構成されるものに一致するものを構成する. この際, Tukia の定理[2] を擬群に対して適用したものを用いる. 非常に単純に述べると, 最初に与えられた T_{W} 上の Beltrami 係数を可能な限りホロノミーでずらしてやってその平均を取ると求める T 上の Beltrami 係数が得られる. 元の葉層が横断的に複素解析的であることから Beltrami 係数の有限性が保証されるので, 可測 Riemann 写像定理を用いて変形を得る.

補足. 実際には Beltrami 係数に関係する有限性を仮定すれば, 例えば境界のコンパクト性は不要である. また, 上の定理は本来は「‘K-quasiconformal foliation’ は擬等角変形により横断的に複素解析的な葉層構造に変形できる.」という定理から従うが, ここでは省略する.

この定理を使うと, S^{3} 上の葉層構造の古典的に知られている変形についての別な解釈を与えることが出来る. 特に, 複素二次特性類の微分位相不変性は微分可能性を低くしすぎた場合には成り立たないことがわかる.

References

1. T. Asuke, Existence and Quasiconformal Deformations of Transversely Holomorphic Foliations, preprint.

2. P. Tukia, On two-dimensional quasiconformal groups, Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math. 5 (1980), no. 1, 73–78.