１９９８年度幾何学Ａ演習（第８回） ’97/6/10 15:00〜17:15

定義１． (曲面の定義その１)

ℝ^{3} の部分集合 S が滑らかな曲面であるとは、 S が ℝ^{2} の開集合 V 上で定義された滑らかな関数 F : V → ℝ^{3} のグラフになっていることをいう。即ち、 ℝ^{2} の座標を (u, v) と書く時、

S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (x, y, z) = (u, v, F (u, v)), (u, v) ∈ V }

が成り立つことである。

問題２．次の集合の概形を調べ、定義１の意味で滑らかな曲面になることを確かめよ。

1) 平面 ax + by + cz + d = 0, c ≠ 0

2) {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} = z^{2}, 0 < x}
3) {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, 0 < z ≤ 1}
4) {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} − z^{2} = −1, 1 ≤ z} （２葉双曲面）
5) {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} − z^{2} = 1, 0 < z} （１葉双曲面）

問題３．次の集合は定義１の意味では滑らかな曲面にはならないことを確かめよ。 1) 平面 ax + by + d = 0, (a, b) ≠ (0, 0)

2) 球面 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}

3) {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} − z^{2} = 1}

曲面の定義として、定義１を採用した場合、問題にもあるように例えば x-y 平面は曲面であるのに、 x-z 平面や y-z 平面は曲面ではない。また、球面も曲面では無くなってしまう。これではいかにもうまくないので、定義を次のように変えてみる。

定義４． (曲面の定義その２)

ℝ^{3} の部分集合 S が滑らかな曲面であるとは、 S が次の形にかけることをいう：適当な ℝ^{2} の開集合 V と、 V で定義された滑らかな関数 F : V → ℝ が存在して、

1) S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (x, y, z) = (u, v, F (u, v)), (u, v) ∈ V }

2) S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (x, y, z) = (u, F (u, v), v), (u, v) ∈ V }
3) S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (x, y, z) = (F (u, v), u, v), (u, v) ∈ V }

のいずれかが成り立つ (２つ以上成り立っても構わない)。ここで、 (u, v) は ℝ^{2} の通常の座標である。

上の定義は要するに定義１において x, y, z を取り替えてもよいということである。

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問題５．次の集合のうち、 1) と 3) は定義２の意味で滑らかな曲面であり、 2) はそうではないことを確かめよ、

1) 平面 ax + by + d = 0, (a, b) ≠ (0, 0)

2) 球面 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}

3) {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} − z^{2} = 1, x > 0}

曲面の定義に定義２を採用した場合、ほとんどの「いかにも滑らかな曲面と呼びたいような集合」、例えば平面は常に曲面になった。しかし、まだ１葉双曲面は半分にしないと曲面にならないし、また、球面も同様である。これでは何かと不都合であるし、そもそも直観とあまりにかけ離れてしまう。そこで次のように定義する。

定義６． (曲面の定義その３)

ℝ^{3} の部分集合 S が滑らかな曲面であるとは、 S が次の形にかけることをいう： S の各点 p について、 ℝ^{3} での p を中心とする適当な開球 D_{ϵ}(p) = {q ∈ ℝ^{3} | |p − q| < ϵ} を取ると、 S ∩ D_{ϵ}(p) は、定義４の意味で滑らかな曲面である。即ち、 (各点 p に対し、 ) 適当な R^{2} の開集合 V_{p} と、 V_{p} で定義された滑らかな関数 F_{p} : V → ℝ が存在して、

1) S ∩ D_{ϵ}(p) = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (x, y, z) = (u, v, F_{p}(u, v)), (u, v) ∈ V }

2) S ∩ D_{ϵ}(p) = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (x, y, z) = (u, F_{p}(u, v), v), (u, v) ∈ V }
3) S ∩ D_{ϵ}(p) = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (x, y, z) = (F_{p}(u, v), u, v), (u, v) ∈ V }

のいずれかが成り立つ (２つ以上成り立っても構わない)。ここで、 (u, v) は ℝ^{2} の通常の座標である。また、 ϵ は十分小さくてもよいし、取れるのであれば大きくてもよい。

問題７．球面 {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1} が定義３の意味で曲面になっていることを示せ。

ここでしばらく定義その１・その２にもどる。

問題８^{∗}．定義その１を採用した場合、 S と V は微分同相であることを示せ。即ち、ある滑らかな写像 g : S → V が存在して、 f ∘ g = id_{S}, g ∘ f = id_{V} が成り立つことを示せ。ここで、 id_{S}, id_{V} はそれぞれ S, V の恒等写像とする。また、定義その２を採用しても同様であることを示せ。

注意９．これを認めると、定義６は次のように言いかえられる。即ち ℝ^{3} の部分集合 S が滑らかな曲面であるとは、 S の各点 p の近傍 S ∩ D_{ϵ}(p) が ℝ^{2} のある開集合 V_{p} と微分同相であることをいう。

定義その２は前に調べたように、それなりに有用ではあるが、条件がやや込み入っている。これを (ある意味で) 簡単にしようとすると、次のようになる。

定義１０． (曲面の定義その２’)

ℝ^{3} の部分集合 S が滑らかな曲面であるとは、 S が次の形にかけることをいう：適当な ℝ^{2} の開集合 V と、 V で定義された、条件 (∗) を満たす滑らかな関数 F = (f_{1}, f_{2}, f_{3}) : V → ℝ^{3} が存在して、

S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (x, y, z) = F (u, v), (u, v) ∈ V }

とかける。ここで、 (u, v) は ℝ^{2} の通常の座標とする。条件 (∗) ： F の微分

( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂u} & \frac{∂f_{1}}{∂v} \\ \frac{∂f_{2}}{∂u} & \frac{∂f_{2}}{∂v} \\ \frac{∂f_{3}}{∂u} & \frac{∂f_{3}}{∂v} \end{matrix} )

の階数は V 上で常に 2 である。

問題１１． 1) 定義その２ ⇒ 定義その２’ を示せ。 2)^{∗} 定義その２’ ⇒ 定義その２を示せ。

ヒント：逆関数定理若しくは陰関数定理を用いる。