１９９８年度幾何学Ａ演習（第１回） ’98/4/15 15:00 〜 17:15

定義１． X を集合とする。 X の部分集合の族 𝒪 が X の開集合系であるとは 𝒪 が次の３条件を満たすことを言う。

1) ϕ, X ∈ 𝒪,

2) Λ を任意の添字集合とし、すべての λ ∈ Λ に対して O_{λ} ∈ 𝒪 であるとする。

このとき ⋃_{λ∈Λ} O_{λ} ∈ 𝒪,

3) 任意の有限個の集合 O_{1}, ⋯, O_{n} ∈ 𝒪 に対し、 ⋂_{i=1}^{n} O_{i} ∈ 𝒪.

また、集合 X においてこのような部分集合の族 𝒪 を一つ定めることを X に位相を入れる、もしくは X に位相が入ったなどという。

問題２．上記定義を参考にして、集合 X の部分集合像の族 𝒞 が X の閉集合系であることの定義を述べよ。

問題３．

1) X = ℝ とする。 𝒪 = {Y ⊂ X ; ∀p ∈ Y ∃ϵ > 0 s.t. D_{ϵ}(p) ⊂ Y } とすると、 𝒪 は開集合系であることを示せ。但し、 D_{ϵ}(p) は区間 (p−ϵ, p+ϵ) であるとする（Y が空集合の時には条件は常に満たされていることに注意せよ；なぜか？）。

2) X = ℝ, 𝒪 を 1) と同じものとする。このとき、ある O_{1}, O_{2}. · · · ∈ 𝒪 で、

⋂_{i=1}^{∞} O_{i} = [0, 1] なるものが存在する。これを構成せよ。また、 [0, 1] が開集合

ではないことと、実際には閉集合であることを (ここでの)𝒪 の定義を用いて説明せよ。

3) 1) で X = ℝ^{n} とし、 D_{ϵ}(p) = {q ∈ ℝ^{n} ; |q − p| < ϵ} とすると、やはり 𝒪 は開集合系であることを示せ。

注意４． n = 1 なら当然 1) と 3) で定義される位相は一致する。また、 3) で定義される ℝ^{n} の位相を ℝ^{n} の通常の位相という。定義から D_{ϵ}(p) は開集合であるが、これを開球という。特に半径が ϵ であることを強調したい時には ϵ-開球などという。

問題５． 1) X, Y を位相空間とする。写像 f : X → Y が連続であることの定義を述べよ。 2) X = Y = ℝ とし通常の位相を入れ、写像 f : ℝ → ℝ を考える。 i) いわゆる ϵ–δ 法で、 f が連続であることの定義を述べよ。 ii) i) での連続性と、 1) で定義される連続性が同値であることを示せ。 iii) ℝ は加法に関して群であったが、群演算（加法、および逆元を与える操

作）が連続であることを示せ。ヒント：演算とはある一定の性質を持つ写像のことであることに注意せよ。

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問題６． ℤ の開集合系を 𝒪 = {X ; X は ℤ の部分集合} として定める。

1) 𝒪 が開集合系になっていることを確かめよ。また、任意の開集合は閉集合であることを示せ。

2) ℤ は加法に関して群であったが、群演算が今定めた ℤ の位相に関して連続であることを確かめよ。

3)^{∗} ここで入れた ℤ の位相が ℝ の通常の位相から自然に誘導される位相であることを示せ。

注意７．問題３は ℝ が Lie 群という「よい」群であるということの証明の一部であり、問題４は ℤ は ℝ の「Lie 部分群」であるということの証明の一部である。