１９９７年度代数学 II 演習（第５回） ’97/11/18 9:00〜10:30

1. det : GL(2, ℝ) → ℝ^{×}、ここで ℝ^{×} = {x ∈ ℝ| x ≠ 0}、は準同型写像である事を示し、 ker(det) を求めよ。一般に GL(2, ℝ) のかわりに GL(n, ℝ) を考えたときはどうか。ここで GL(n, ℝ) は正則な n 次正方行列の全体の成す群。

2. 群 G とその部分群 H が与えられているとする。ここで、 x, y ∈ G について

x ≡ y ⇔ x^{−1}y ∈ H

と定めたとき、その商集合 G/ ≡ を G/H とかく。このとき、 GL(2, ℝ)/SL(2, ℝ) の代

表系として、 \{( \begin{matrix}r & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) | r ∈ ℝ^{×}\} が取れることを示し、さらに GL(2, ℝ)/SL(2, ℝ)

には GL(2, ℝ) の積から自然に積が入り群になる事を示せ。 (ヒント：問 1 を参考にする事。 )

3. G を群とする。この時、 G の元 g に対して写像 π_{g} : G → G を π_{g}(h) = ghg^{−1} で与える。この時 π_{g} は準同型である事を示し、その核 (kernel) を求めよ。

4. G を群とするとき、 Aut(G) を G から G への同型写像全体とする。 1) Aut(G) は恒等写像を単位元とし、写像の合成を積とする群である事を示せ。 2) 問 3 の π : G → Aut(G) を π(g) = π_{g} で与えると、これは準同型写像であ

る事を示せ。

3) π の核を求めよ。

5. f を群 G_{1} から群 G_{2} への準同型写像とする。この時 f による G_{1} の像 f(G_{1}) が G_{2} の正規部分群でない例を挙げよ。

6. 次の群 G, H の組み合わせにおいて、 H が G の正規部分群であるかどうか調べよ。

1) G = 𝔖_{n}, H = 𝔄_{n}

2) G = ℂ^{×}, H = {z ∈ ℂ| z^{n} = 1}
3) G = ℂ^{×}, H = ℝ^{×} = {x ∈ ℝ| z ≠ 0}

また、正規部分群の場合には適当な群 G′ と準同型写像 f : G → G′ で、 ker f = H となるものを見つけよ。（後半のヒント：商空間を考える、若しくは H の定義をよく見る）

7. アーベル群の部分群は正規部分群である事を示せ。

8. G を群とし、写像 f : G → G を f(g) = g^{−1} (g ∈ G) で定める。この写像 f が準同型写像になるのはいつか。

9. 1) ℤ/2ℤ から ℤ/4ℤ への非自明な準同型 (つまり、ある g ∈ ℤ/2ℤ は ℤ/4ℤ の

単位元でない元に写される準同型) は唯一であることを示せ。

2) 1) で与えられた準同型を ι とする。 ι による ℤ/2ℤ の像 ι(ℤ/2ℤ) は ℤ/4ℤ の正規部分群であることを示せ。

3) G = ℤ/4ℤ, H = ι(ℤ/2ℤ) とする。このとき G/H には G の積から自然に積が入り、 ℤ/2ℤ に同型であることを示せ。

4) ℤ/4Z と ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ は同型でないことを示せ。

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