１９９７年度代数学 II 演習（第３回） ’97/10/28 9:00〜10:30

1. μ_{n} = {z ∈ ℂ| z^{n} = 1} と置く。これは巡回群であることを示せ。また、 μ_{n} の生成元を各 n について全て挙げよ。

2. 1) Z の部分群をすべて求めよ。

2) Z/pZ の部分群をすべて求めよ。部分群が自明なもの (Z/pZ 若しくは {1}) のみになるのはいつか。

3. 1) 巡回群の部分群はまた巡回群である事を示せ。 2) 巡回群はアーベル群である事を示せ。

4. 𝔖_{n} は互換 (1 2), (1 3), ⋯, (1 n) で生成される事を示せ。また、与えられた元

σ = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ σ(1) & σ(2) & σ(3) & σ(4) \end{matrix} )

を上の互換で表すアルゴリズム (方法／処方箋) を求めよ。

5.

SL(2, ℝ) = {A ∈ M(2, ℝ)| det A = 1}

の部分群

SO(2) = {A ∈ SL(2, ℝ)| A^{t}A = I_{2}}

を考える。 1) SL(2, ℝ) の部分集合 ⋃_{g∈SL(2,ℝ)} gSO(2, ℝ)g^{−1} が群になるかどうか調べよ。

2) 上の集合が SL(2, ℝ) を生成するかどうか調べよ。

6. 1) ℝ^{×} の有限部分群をすべて求めよ。 2) ℝ^{×} の離散部分群をすべて求めよ。

7. n 次の対称群 𝔖_{n} の中で、交代群 𝔄_{n} と互換 (1 2) が生成する群を求めよ。

8. 一般に群 G が与えられたとき、 G の２つの元 g_{1}, g_{2} に対して

[g_{1}, g_{2}] = g_{1}g_{2}g_{1}^{−1}g_{2}^{−1}

とおいて g_{1} と g_{2} の交換子と呼ぶ。更に、 G の部分集合 {[g_{1}, g_{2}]| g_{1}, g_{2} ∈ G} で生成される G の部分群を [G, G] とかき、 G の交換子群と呼ぶ。

1) SL(2, ℝ) の交換子群を求めよ。

2) 𝔖_{n} の交換子群を求めよ。

3) 𝔄_{n} の交換子群を求めよ。

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