２００１年度幾何学Ａ演習レポート問題 ’01/4/26 締切： ’01/5/9 の数学事務室閉室時（通常は午後５時）

問１． (x, y, z) = (cos t, sin t, t) (t ∈ ℝ) で表される ℝ^{3} 内の曲線について 1) 上記の表示に関する速度ベクトルを求めよ。

2) 弧長パラメータ表示を求めよ。

3) 弧長パラメータ表示に関する速度ベクトルと加速度ベクトルを求めよ。 4) 曲率を求めよ。

5) 捩率を求めよ。

問２．

1) (x, y) = (r cos \frac{t}{r} , r sin \frac{t}{r}) (t ∈ ℝ) は ℝ^{2} 内の原点を中心とする半径 r の円の弧長パラメータ表示になっていることを示せ。

2) 局座標で (r, θ) = (t, t) (t > 0) と表される曲線 ℓ について、 i) 表示を (x, y) = (f_{1}(t), f_{2}(t)) の形に改めよ。 ii) ℓ 上の各点における接線の式を求めよ。 iii) ℓ 上の各点における法線の式を求めよ。 iv) ℓ 上の各点における曲率を求めよ。

v) ℓ 上の各点における曲率半径を求め、曲率円を描け。

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