２００１年度幾何学Ａ演習（第１３回） ’01/7/11 15:00〜16:30

\underline{特に断らない限り (x, y) で ℝ^{2} の通常の座標を表すことにする。}

問１． I を ℝ^{2} の任意の第一基本形式とする。 1) 恒等写像 id : (ℝ^{2}, I) → (ℝ^{2}, I) は等長写像であることを示せ。

2) (ℝ^{2}, I) の等長写像全体の集合を Isom(ℝ^{2}, I) と表すことにすると、 Isom(ℝ^{2}, I) は恒等写像を単位元とし、写像の合成を積とする群であることを示せ。

問２． I = dxdx + dydy とする。 1) ℝ^{2} の平行移動は (ℝ^{2}, I) の等長写像であることを示せ。

2) 原点を中心とする ℝ^{2} の回転は (ℝ^{2}, I) の等長写像であることを示せ。

3) ℝ^{2} 内の任意の（無限に伸びた）直線に関する折り返しは (ℝ^{2}, I) の等長写像であることを示せ。

問３．次の各場合について積分 ∫_{D} ω を求めよ。積分の際には座標の順番、つまり向きに注意せよ。

1) D = [0, 1] × [0, 1], ω = (cos 2πx)dx ∧ dy

2) D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} x^{2} + y^{2} ≤ 1}, ω = dx ∧ dy

3) D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} x^{2} + y^{2} ≤ 1}, ω = (1 − x^{2} − y^{2})dx ∧ dy

4) D = \{(x, y) ∈ ℝ^{2} 1 ≤ x^{2} + y^{2} ≤ 2\}, ω = \sqrt{x^{2} + y^{2}}dx ∧ dy

5) D = {(x, y) ∈ ℝ^{2} 1 ≤ x^{2} + y^{2} ≤ 2}, ω = dr ∧ dθ。ただし、 (r, θ) を ℝ^{2} の局座標とする。

問４．次の曲面を３角形分割し、オイラー標数を求めよ。ただし、分割は式で表す必要はなく、図で説明すればよい。

1) 球面 S^{2} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}

2) Σ_{0} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2} = 1}

3) トーラス（輪環面） 4) 二人用の浮き輪

5) 三人用の浮き輪１ 6) 三人用の浮き輪２

※一般に「n 人用の浮き輪」を種数 n の閉曲面と呼ぶ。問５．次の各積分を求めよ。ただし (r, θ) を ℝ^{2} の局座標とする。

1) ℓ(t) = (t^{2}, t) とするとき、 ∫_{[0,1]} ℓ^{∗}(dx + dy)

2) ℓ(t) = (cos 2πt, sin 2πt) とするとき、 ∫_{[0,1]} ℓ^{∗}((sin r)dr)

3) ℓ(t) = (cos 2π(sin πt), sin 2π(sin πt)) とするとき、 ∫_{[0,1]} ℓ^{∗}(dθ)

4) ℓ(t) = (sin 4πt, sin 2πt) とするとき、 ∫_{[0,1]} ℓ^{∗}(dx)

定義６． C を有限個の（０個のこともありうる）角がある ℝ^{2} 内の滑らかな閉曲線で、自分自身とは交わらないものとする。 C には左回りもしくは右回りの向きが決まるのでどちらかを選ぶ（ここでは左回りとする）。このとき、 ∫_{C} ω を以下のように定める：

1) まず C = C_{0} ∪ C_{1} ∪ ⋯ ∪ C_{n} と C を分割し、各 C_{i} には角がないようにしておく。

2) C は各 C_{i} に自然に向きを決めるので、 γ_{i} : [0, 1] → C_{i} をこの向きに沿った C_{i} の径数付けとする（要するに γ_{i}(0) が C_{i} の始点で、 γ_{i}(1) が C_{i} の終点になるようにする）。ただし、 γ は (0, 1) で無限回微分可能になるように選ぶ。

3)

∫_{C} ω = ∫_{γ_{1}} ω + ⋯ + ∫_{γ_{n}} ω
= ∫_{[0,1]} γ_{1}^{∗}ω + ⋯ + ∫_{[0,1]} γ_{n}^{∗}ω

と定める。

問７． 1) 定義６において、積分は γ_{i} の選び方によらないことを示せ。

2) 定義６において、 C を必要以上に分割しても積分は不変であることを示せ。つまり、例えば角がない閉曲線 C を C = C_{0} ∪ C_{1} と分割して計算してもよいことを示せ。

問８． (0, 0), (1, 0), (0, 1) を頂点とする三角形の辺と内部を合わせたものを Δ とする。また、３辺を合わせたものを ∂Δ として、これには左回りに向きがついているとする。

1) ∫_{Δ} dx ∧ dy を求めよ。

2) ∫_{∂Δ} xdy を求めよ。

3) ∫_{∂Δ}(−y)dx を求めよ。

4) 1), 2), 3) の結果を比較せよ。