２００１年度幾何学Ａ演習（第１２回） ’01/7/4 15:00〜16:30

定義１．以前 ℝ^{2} のベクトル全体を考え T ℝ^{2} と表したが、全く同様に ℝ^{3} のベクトル全体を考え T ℝ^{3} と表す。より具体的には、 (x, y, z) を ℝ^{3} の通常の座標とし、 p ∈ ℝ^{3} における x 軸方向の正の向きの単位ベクトルを\frac{∂}{∂x}_{p} で表す。\frac{∂}{∂y}_{p}, \frac{∂}{∂z}_{p} も同様に定め、

\frac{∂}{∂x}_{p}, \frac{∂}{∂y}_{p}, \frac{∂}{∂z}_{p} で ℝ 上生成されるベクトル空間を T_{p}ℝ^{3} と表す。 T ℝ^{3} = ⋃_{p∈ℝ^{3}} T_{p}ℝ^{3}

である。

定義２．（前回の補足） ℝ^{2} の座標を (u, v)、 ℝ^{3} の座標を (x, y, z) で表す。 f : ℝ^{2} → ℝ^{3} を滑らかな写像とする。座標で表した時 f(u, v) = (f_{1}(u, v), f_{2}(u, v), f_{3}(u, v)) であるとするとき、 (f_{∗})_{p} : T_{p}ℝ^{2} → T_{f(p)}ℝ^{3} を線形写像で

(f_{∗})_{p} (\frac{∂}{∂u}_{p}) = \frac{∂f_{1}}{∂u} (p)\frac{∂}{∂x}_{f(p)} + \frac{∂f_{2}}{∂u} (p)\frac{∂}{∂y}_{f(p)} + \frac{∂f_{3}}{∂u} (p)\frac{∂}{∂z}_{f(p)}
(f_{∗})_{p} (\frac{∂}{∂v}_{p}) = \frac{∂f_{1}}{∂v} (p)\frac{∂}{∂x}_{f(p)} + \frac{∂f_{2}}{∂v} (p)\frac{∂}{∂y}_{f(p)} + \frac{∂f_{3}}{∂v} (p)\frac{∂}{∂z}_{f(p)}

なるものとする。行列で書けば

(f_{∗})_{p} = ( \begin{matrix}\frac{∂f_{1}}{∂u} (p) & \frac{∂f_{1}}{∂v} (p) \\ \frac{∂f_{2}}{∂u} (p) & \frac{∂f_{2}}{∂v} (p) \\ \frac{∂f_{3}}{∂u} (p) & \frac{∂f_{3}}{∂v} (p) \end{matrix} )

である。右辺は f の Jacobi 行列の p での値である。

問３．定義２の最後の部分を確かめよ。すなわち、上の式の右辺の行列を DF_{p} とする時

(f_{∗})_{p} (a\frac{∂}{∂u}_{p} + b\frac{∂}{∂v}_{p}) = DF_{p} ( \begin{matrix}a \\ b \end{matrix} )

（右辺は行列の掛け算）であることを示せ。

問４． ℝ^{2} に通常の第一基本形式（dxdx+dydy）を入れる。任意の異なる２点 a, b ∈ ℝ^{2} について、 a と b を結ぶ最短線を求めよ。最短線が測地線であるということを認めれば、ここで求まる曲線が通常の第一基本形式に関する測地線である。

定義５． ω, η を ℝ^{2} 上の 1-形式とする。このとき ω と η の外積 ω ∧ η を以下のように定める： p ∈ ℝ^{2} とするとき、 (ω ∧ η)_{p} を T_{p}ℝ^{2} × T_{p}ℝ^{2} から ℝ への写像で、任意の X_{p}, Y_{p} ∈ T_{p}ℝ^{2} に対し

(ω ∧ η)_{p}(X_{p}, Y_{p}) = ω_{p}(X_{p})η_{p}(Y_{p}) − ω(Y_{p})η(X_{p})

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なるものとする。対応 p ↦ (ω ∧ η)_{p} を ω ∧ η と書く。 ω ∧ η の形をしたものの（ℝ 上の）線型結合として表されるものを 2-形式という。

問６． ω, η を ℝ^{2} 上の任意の 1-形式とする。 1) (ω ∧ η)_{p} は X_{p}, Y_{p} に関して線型であることを示せ。

2) (ω ∧ η)_{p} = −(η ∧ ω)_{p} を示せ。

3) (ω ∧ ω)_{p} = 0 を示せ。

4) ω = αdx + βdy, η = fdx + gdy の時、 ω ∧ η をなるべく簡潔に表せ。

5) ℝ^{2} 上の 2-形式は dx ∧ dy の関数倍に限ることを示せ。

6) 任意の X_{p} ∈ T_{p}ℝ^{2} に対して (ω ∧ η)_{p}(X_{p}, X_{p}) = 0 を示せ。

問７． (x, y), (u, v) を ℝ^{2} の通常の座標とする。

1) D = [1, 4] × [0, 4] の時 ∫_{D} du ∧ dv を求めよ。

2) (u, v) = f(x, y) = (x^{2}, y)、 D′ = [1, 2] × [0, 4] のとき ∫_{D} f^{∗}(du ∧ dv) を求めよ。

3) f|_{D′} は D′ から D への微分同相写像であることを示し、 1) と 2) の結果を比較せよ。

4) D = [1, 4] × [0, 4] の時 ∫_{D} dv ∧ du を求め、 1) と比較せよ。

定義８． S^{1} を ℝ^{2} 内の単位円周（原点を中心とする半径 1 の円）とし、 φ : [0, 1] → S^{1} を φ(t) = (cos 2πt, sin 2πt) で定める。このとき、 S^{1} 上の 1-形式 ω の S^{1} 上の積分 ∫_{S^{1}} ω を

∫_{S^{1}} ω = ∫_{0}^{1} φ^{∗}ω

で定める（実は φ はこの写像である必要はなく、適当な条件を満たすもっと一般の写像で構わない）。

問９．次の積分を求めよ。

1) ∫_{S^{1}} \frac{xdy − ydx}{x^{2} + y^{2}}  2) ∫_{S^{1}} dx 3) ∫_{S^{1}} \frac{xdy + ydx}{x^{2} + y^{2}}  4) ∫_{S^{1}}(dx + dy)

問１０． S^{1} 上の 1-形式 ω で、適当な S^{1} 上の関数 f を用いて ω = df と書けるもの（完全形式という）について、 ∫_{S^{1}} ω = 0 であることを以下の順番で示せ：

1) φ^{∗}(df) = d(f ∘ φ) が成り立つ。

2) [0, 1] 上の滑らかな関数 F について ∫_{0}^{1} dF = F (1) − F (0) である。

3) 1) 2) から ∫_{S^{1}} ω = ∫_{S^{1}} df = 0 である。