２００１年度幾何学Ａ演習（第１１回） ’01/6/27 15:00〜16:30

前回は ℝ^{2} から ℝ^{2} への写像について 1-形式の引き戻しを定義した。それと同様に ℝ から ℝ^{2} への写像についても ℝ^{2} 上の 1-形式の引き戻しを定義できる。すなわち、 ℝ の座標を t、 ℝ^{2} の座標を (x, y) とする時、以下のように定める。

定義１． ω = fdx + gdy を ℝ^{2} 上の滑らかな 1-形式, φ : ℝ → ℝ^{2} を滑らかな写像とする。このとき φ^{∗}ω を

φ^{∗}ω = (f ∘ φ)dφ_{1} + (g ∘ φ)dφ_{2}

で定める。ただし、座標で表した時 φ = (φ_{1}, φ_{2}) とする。また、（今は φ は t のみに

依存するので） dφ_{1} = \frac{dφ_{1}}{dt} dt, dφ_{2} = \frac{dφ_{2}}{dt} dt と定める。

定義２． ℝ の通常の座標を t で表す。 ω = fdt を ℝ 上の 1-形式とする。この時、 ℝ の Lebesgue 可測集合 B に対して ω の B 上の積分 ∫_{B} ω を

∫_{B} ω = ∫_{B} fdμ

で定める。ただし、 dμ は ℝ の Lebesgue 測度とする。

注意３．微分形式の積分を定義するためにはどんな方法を取るにせよどこかで積分自体を定義しないといけない。ここでは積分はあらかじめ定義されているとしてその定義を援用することにする。今回は Riemann 積分と Lebesgue 積分が一致する場合しか扱わないのでわからない場合は取り敢えず Riemann 積分だと思っていてもよい。

問４． ℝ^{2} \ \{(0, 0)\} 上の 1-形式 ω を ω = \frac{1}{2π} \frac{xdy − ydx}{x^{2} + y^{2}} で定める。

1) ℓ(t) = (cos t, sin t) とする時、 ℓ^{∗}ω を求めよ。

2) ∫_{0}^{2π} ℓ^{∗}ω を求めよ。

3) ℓ(t) = (cos(−t), sin(−t)) とする時、 ℓ^{∗}ω と ∫_{0}^{2π} ℓ^{∗}ω を求めよ。

4) ℓ(t) = (10 cos 2t + cos 2t cos 3t, 10 sin 2t + sin 2t cos 3t) とするとき、 ℓ(ℝ) を図示し、 ℓ^{∗}ω を求めよ（必要なら第６回の問５を参考にせよ）。

5) ℓ の周期 T を求め、 ∫_{0}^{T} ℓ^{∗}ω を求めよ。

6) 一般に ℓ : ℝ → ℝ^{2} \{(0, 0)} を閉曲線とする。その周期を T とする時 ∫_{0}^{T} ℓ^{∗}ω は ℓ の回転数であることを示せ。

7) f : ℝ_{+} × ℝ → ℝ^{2} を f(r, θ) = (r cos 2πθ, r sin 2πθ) で定める。この時 f^{∗}ω を求めよ。ただし、 ℝ_{+} で正の実数全体を表す。問５． S^{2} を ℝ^{3} の単位球面とする： S^{2} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1}。 S^{2} には ℝ^{3} の自然な位相からの相対位相が入っているとする。

1) φ : ℝ^{2} → S^{2} を φ(u, v) = (\frac{2u}{1 + u^{2} + v^{2}} , \frac{2v}{1 + u^{2} + v^{2}} , \frac{−1 + u^{2} + v^{2}}{1 + u^{2} + v^{2}} ) とす

ると φ は ℝ^{2} から S^{2} \ {(0, 0, 1)} への同相写像である。これを以下の i)〜iii) を示すことにより示せ（全部で１問）。

i) 任意の (u, v) ∈ ℝ^{2} について φ(u, v) ∈ S^{2} である。また、 φ は連続である。

ii) 任意の (x, y, z) ∈ S^{2} \ {(0, 0, 1)} に対して、ある (u, v) ∈ ℝ^{2} が一意的

に存在して φ(u, v) = (x, y, z) が成り立つ。 iii) ii) の最後の部分を言い換えると (u, v) ∈ ℝ^{2} が (x, y, z) ∈ S^{2} \{(0, 0, 1)}

により定まるということだが、この対応を ψ とすると ψ は連続である。 2) φ がどのような写像であるか図示して説明せよ（ヒント： (u, v)-平面である ℝ^{2}

を (x, y)-平面として S^{2} と同じ (x, y, z)-空間に書き込み、 (u, v) （を (u, v, 0) とみなして、それ）と φ(u, v) を結ぶ直線を考えてみよ）。

3) ℝ^{3} の第１基本形式 g_{E} を g_{E} = dxdx + dydy + dzdz で定める。これを S^{2} に制限したものは S^{2} の第１基本形式であることを示せ。

4) 2) で定まった S^{2} の第１基本形式を g とする。このとき φ^{∗}g を du, dv を用いて表し、これが ℝ^{2} の第１基本形式であることを示せ。

5) ℝ^{2} のベクトル場 X を X(u, v) = u\frac{∂}{∂u} + v \frac{∂}{∂v} で定める。 5a) u, v の関数 (φ^{∗}g)(X) を求めよ。 5b) (x, y, z) ∈ S^{2} \ {(0, 0, 1)} におけるベクトル場 Y を

Y (x, y, z) = φ_{∗}(X(ψ(x, y, z)))

で定める。 X と Y を図示せよ。

6) S^{2} 上の曲線 ℓ に Y を制限すると曲線にそったベクトル場が得られるのでこれを Y_{ℓ} と呼ぶことにする。次の各場合について ℓ を図示した上で Y_{ℓ} の共変微分を求め、 Y_{ℓ} が平行であるかどうか調べよ。 6a) ℓ(t) = (cos t, sin t, 0), t ∈ ℝ

6b) ℓ(t) = (cos t, \frac{1}{\sqrt{2}} sin t, \frac{1}{\sqrt{2}} sin t), t ∈ ℝ

6c) ℓ(t) = (sin t, cos t sin t, − cos^{2} t), t ∈ ℝ

7) ρ : ℝ^{2} → S^{2} を ρ(t, s) = (\frac{2t}{1 + t^{2} + s^{2}} , \frac{2s}{1 + t^{2} + s^{2}} , \frac{1 − t^{2} − s^{2}}{1 + t^{2} + s^{2}} ) とすると ρ

は ℝ^{2} から S^{2} \ {(0, 0, −1)} への同相写像であることを 1) に倣って示せ。

8) τ = ρ ∘ φ^{−1} とおく。 τ は ℝ^{2} \ {(0, 0)} で定義されていることを示し、さらにこれは（(u, v)-平面の部分集合である） ℝ^{2} \ {(0, 0)} から（(t, s)-平面の部分集合である） ℝ^{2} \ {(0, 0)} への微分同相写像である（すなわち τ は位相同型写像で、かつ τ も τ^{−1} も可微分である）ことを示せ。

9) （(t, s)-平面の部分集合である） ℝ^{2} \ {(0, 0)} のベクトル場 Z を Z(t, s) = τ_{∗}(X(τ^{−1}(t, s))) で定める。このとき Z を図示せよ。 10) Z は (0, 0) に可微分に延長できることを示せ。また、延長した Z を用いて

(x, y, z) ∈ S^{2} \ {(0, 0, −1)} におけるベクトル場 W を

W (x, y, z) = ρ_{∗}(Z(ρ^{−1}(x, y, z)))

で定め、 W を図示せよ。

11) 〜15) 5b), 6), 9), 10), 11) を X = −v \frac{∂}{∂u} + u\frac{∂}{∂v} として解け。