２００１年度幾何学Ａ演習（第１０回） ’01/6/20 15:00〜16:30

X = Y = ℝ^{2} とし、 X の ℝ^{2} の座標を (x, y)、 Y の ℝ^{2} の座標を (u, v) とする。

定義１． φ : X → Y を滑らかな写像とし、座標を用いると

φ(x, y) = (φ_{1}(x, y), φ_{2}(x, y))

であるとする。また、 ω を Y = ℝ^{2} 上の滑らかな 1-形式とする。すなわち、適当な C^{∞}-級関数 f, g が存在して、 ω = fdu + gdv であるとする。このとき、 X = ℝ^{2} の 1-形式 φ^{∗}ω を

φ^{∗}ω = (f ∘ φ) (\frac{∂φ_{1}}{∂x} dx + \frac{∂φ_{1}}{∂y} dy) + (g ∘ φ) (\frac{∂φ_{2}}{∂x} dx + \frac{∂φ_{2}}{∂y} dy)

で定める。これを ω の φ による X への引き戻しという。また、 dφ_{1} = \frac{∂φ_{1}}{∂x} dx+ \frac{∂φ_{1}}{∂y} dy,

dφ_{2} = \frac{∂φ_{2}}{∂x} dx + \frac{∂φ_{2}}{∂y} dy と定める。これに従えば上の式は

φ^{∗}ω = (f ∘ φ)dφ_{1} + (g ∘ φ)dφ_{2}

と書き換えることができる。 dφ_{1} = φ^{∗}du, dφ_{2} = φ^{∗}dv に注意せよ。

問２． ω = udu + vdv とするとき、以下の各場合について φ^{∗}ω を求めよ。 1) φ(x, y) = (x, y^{2})

2) φ(x, y) = (xy, x^{2} − y^{2})
3) φ(x, y) = (x, y)
4) φ(x, y) = (−y + x^{2}, x)
5) φ(x, y) = (y, x)

問３． Z = ℝ^{2} とし、その座標を (w, z) とする。 φ(x, y) = (x^{2}, y), ψ(u, v) = (v, u^{3})、 η = wzdw + zdz とするとき、 φ^{∗}(ψ^{∗}η) と (ψ ∘ φ)^{∗}η を求め比較せよ。

問４． Z = ℝ^{2} とし、その座標を (w, z) とする。 φ : X → Y, ψ : Y → Z とするとき Z 上の 1-形式 η = hdw + kdz について、 φ^{∗}(ψ^{∗}η) = (ψ ∘ φ)^{∗}η を示せ。

定義５． φ : X → Y を滑らかな写像とし、成分で書いたとき φ = (φ_{1}, φ_{2}) であるとする。 v_{p} ∈ T_{p}X = T_{p}ℝ^{2} （p ∈ X = ℝ^{2}）とするとき、 φ_{∗}(v_{p}) ∈ T_{φ(p)}Y = T_{φ(p)}ℝ^{2} を次のように定める：

1) X の曲線 ℓ : (−ϵ, ϵ) → X （ϵ は適当な正の数）を ℓ(0) = p, \frac{dℓ}{dt} = v_{p} なるように選ぶ。ここで t は (−ϵ, ϵ) を動く変数。

2) Y の曲線 φ∘ℓ を考えると、 (φ∘ℓ)(0) = φ(p) であるから、\frac{d(φ ∘ ℓ)}{dt} は T_{φ(p)}Y の元である。この元を φ_{∗}(v_{p}) と定める。 φ_{∗}(v_{p}) は v_{p} の φ （もしくは φ_{∗}）による像としばしば呼ばれる。

問６．定義５の記号をそのまま使う。このとき φ(v_{p}) は ℓ のとり方によらず、 φ と v_{p} のみで定まっていることを示せ（このようなことを、 well-defined であるという）。ヒント：実は第７回の問題８がほぼそのまま証明になっている（が、然るべく説明を加える必要はある）。

問７． 1)〜5) V (x, y) = \frac{∂}{∂y} とする。このとき問２の各写像について、 φ_{∗}(V (x, y)) を求めよ。

注意８． (x, y) を動かしたとき、 φ_{∗}(V (x, y)) は必ずしも Y のベクトル場を定めるわけではない。

問９． φ(x, y) = (x, y^{2}) のとき、 Y のベクトル場 W を W (x, y^{2}) = φ_{∗}(V (x, y)) として定めようとすると、

1) W (u, v) は y < 0 のとき上の式では定義できない。

2) y ≠ 0 のとき、 φ(x, y) = φ(x, −y) であるが φ_{∗}(V (x, y)) ≠ φ_{∗}(V (x, −y)) で

ある。このことを両方とも示せ。

定義１０． I = fdudu + gdudv + hdvdv を Y = ℝ^{2} の第１基本形式とする。 φ = (φ_{1}, φ_{2}) : X = ℝ^{2} → Y = ℝ^{2} とするとき φ^{∗}I を

φ^{∗}I = (f ∘ φ)dφ_{1}dφ_{1} + (g ∘ φ)dφ_{1}dφ_{2} + (h ∘ φ)dφ_{2}dφ_{2}

で定める（dφ_{1} などの定義は定義１を見よ）。

問１１． v, w ∈ T_{p}X = T_{p}ℝ^{2} について、 (φ^{∗}I)(v, w) = I(φ_{∗}(v), φ_{∗}(w)) であることを示せ。

このことは、もし φ が滑らかな同相写像であれば (X, φ^{∗}I) と (Y, I) は φ を通じて「同じ」であるということを示している。

問１２． 1)〜5) I = dudu + dvdv とする。問２の各場合について φ^{∗}I を求め、それが第１基本形式になっているか調べよ。

問１３． φ^{∗}I が X の第１基本形式となるための φ の条件を求めよ。