２００１年度幾何学Ａ演習（第８回） ’01/6/6 15:00〜16:30

ℝ^{2} の座標は通常の物を使う。

定義１． ℝ^{2} 上のベクトル場 X で、 X(p) = \frac{∂}{∂x}_{p} なる物を\frac{∂}{∂x} で表す。同様に、 ℝ^{2}

のベクトル場 Y で、 Y (p) = \frac{∂}{∂y}_{p} なる物を\frac{∂}{∂y} で表す。

定義２． ℝ^{2} 上のベクトル場 f \frac{∂}{∂x} + g \frac{∂}{∂y} は f, g が C^{∞}-級の時、 C^{∞}-級であるといわれる。 C^{∞}-級であることはしばしば「滑らか」と言われるが、 C^{1}-級のことを「滑らか」と言ったりもするので注意。本演習では特に断らない限り「滑らか」といえば C^{∞}-級のことを指す（必ずしも授業での流儀と一致しているとは限らないので注意）。

定義３． T ℝ^{2} = ⋃_{p∈ℝ^{2}} T_{p}ℝ^{2} として、 ℝ^{2} の接空間とよぶ。 T_{p}ℝ^{2} を ℝ^{2} の p における

接空間とよぶ。

問４． p ≠ q ならば定義より T_{p}ℝ^{2} ∩ T_{q}ℝ^{2} = ϕ なので、 a ∈ T ℝ^{2} とすると a ∈ T_{p}ℝ^{2} なる p がただ一つ存在する。一方、\frac{∂}{∂x}_{p}, \frac{∂}{∂y}_{p} は T_{p}ℝ^{2} の基底であるから、 T_{p}ℝ^{2} の元

は (t, s) と ℝ^{2} の元を用いて表すことが出来る。このことを踏まえ、対応 (p, t, s) ↦ t\frac{∂}{∂x}_{p} + s\frac{∂}{∂y}_{p} は ℝ^{2} × ℝ^{2} から T ℝ^{2} への１対１の写像を与えることを示せ。

問５． X(x, y) = x\frac{∂}{∂x} + y \frac{∂}{∂y} で定まるベクトル場を X を考える。 ℝ^{2} の点 p を決めると曲線 ℓ : ℝ → ℝ^{2} で、

1) ℓ(0) = p かつ

2) ℓ = (ℓ_{1}, ℓ_{2}) と座標で書くと、\frac{∂ℓ_{1}}{∂t} \frac{∂}{∂x} + \frac{∂ℓ_{2}}{∂t} \frac{∂}{∂y} = X(ℓ_{1}, ℓ_{2})

が成り立つものが存在することを示せ。ただし ℝ の座標を t とした。また、 X を図示した上で、さらにいくつか代表的な p を選び ℓ を図示せよ。

注意６．曲線の点 p における速度ベクトルは T_{p}ℝ^{2} の元として表すことが出来たが、これを踏まえると、上の 2) の条件は「点 ℓ(t) における ℓ の速度ベクトルは、点 ℓ(t) における X の値に等しい」と言い換えることができる。一般に、与えられた任意の C^{∞}-級のベクトル場 X と任意に固定した始点に対し、このような曲線が唯一存在する。このような ℓ を（p を通る） X の積分曲線と呼ぶ。ただし、一般には定義域は ℝ 全体にはならず、例えば (−ϵ, ϵ) などとなる。

問７． 1) v, w が ℝ^{2} の基底であることの定義を述べよ。

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2) v, w が ℝ^{2} の基底であるとき、 ℝ^{2} から ℝ への線形写像 φ は φ(v) と φ(w) により定まることを示せ。

定義８． T_{p}ℝ^{2} から ℝ への線形写像 dx_{p} を dx_{p} (\frac{∂}{∂x}_{p}) = 1, dx_{p} (\frac{∂}{∂y}_{p}) = 0 によ

り定める。また、 dy_{p} を dy_{p} (\frac{∂}{∂x}_{p}) = 0, dy_{p} (\frac{∂}{∂y}_{p}) = 1 により定める。最後に、

adx_{p} + bdy_{p} を (adx_{p} + bdy_{p}) (\frac{∂}{∂x}_{p}) = a, (adx_{p} + bdy_{p}) (\frac{∂}{∂y}_{p}) = b により定める。

問９． dx_{p} (\frac{∂}{∂x}_{p} + \frac{∂}{∂y}_{p}) 及び (dx_{p} + 2dy_{p}) (5\frac{∂}{∂x}_{p} − 4\frac{∂}{∂y}_{p}) を求めよ。ここで、

p は ℝ^{2} の適当な点とする。

定義１０． dx で対応 p ↦ dx_{p} を表す。 dx : ℝ^{2} → ⋃_{p∈ℝ^{2}} Hom_{ℝ}(T_{p}ℝ^{2}, ℝ) である。ま

た、 dy で対応 p ↦ dy_{p} を表す。

定義１１． ℝ^{2} の各点 p に対して dx_{p}, dy_{p} の一次結合を与える対応のことを ℝ^{2} 上の微分形式（より正確には 1-形式）という。また、 T^{∗}ℝ^{2} = ⋃_{p∈ℝ^{2}} Hom_{ℝ}(T_{p}ℝ^{2}, ℝ) と

する。 ℝ^{2} 上の微分形式は関数 f, g を用いて fdx + gdy とかけるが、 f, g が滑らかなとき、この微分形式は滑らかであるという。

問１２．問３に倣い、集合として ℝ^{2} × ℝ^{2} = T^{∗}ℝ^{2} であることを、写像 (p, u, v) ↦ udx_{p} + vdy_{p} を用いて示せ。

定義１３． ω を ℝ^{2} 上の 1-形式、 X を ℝ^{2} 上のベクトル場とする。 ω = fdx + gdy, X = α\frac{∂}{∂x} + β \frac{∂}{∂y} とかけるとするとき、 ω(X) を以下のようにして定まる関数とす

る。すなわち ω(X)(p) = ω_{p}(X(p)) = (f(p)dx_{p} + g(p)dy_{p}) (α(p)\frac{∂}{∂x}_{p} + β(p)\frac{∂}{∂y}_{p})

と定める。

問１４．定義１３の計算を続けて、 ω(X) を dx, dy, \frac{∂}{∂x}, \frac{∂}{∂y} を用いずに表し、その表示を用いて ω, X が共に滑らかなとき、 ω(X) も滑らかな事を示せ。