２００１年度幾何学Ａ演習（第６回） ’01/5/23 15:00〜16:30

定義１． S を ℝ^{3} 内の滑らかな曲面とする。 S の点 p について、 p における接ベクトルを以下のように定める：

1) まず、 ℓ : ℝ → ℝ^{3} を滑らかな曲線で、 ℓ(ℝ) ⊂ S かつ ℓ(0) = p であるものとする。ただし、必ずしも\frac{∂ℓ}{∂t}(t) ≠ 0 でなくともよいことにする。ここで、 t は ℝ の通常の座標とする。

2) ℝ^{3} 内の p を始点とするベクトル v であって、上のような ℓ を適当に選ぶことにより v = \frac{∂ℓ}{∂t}(0) と書けるものを S の p における接ベクトルと呼び、その全体を T_{p}S で表す。

注意２．

1) 上の 1) のような ℓ は実際には ℝ 全体で定まっていなくとも、 0 のある近傍 (−ϵ, ϵ) で定まっていれば十分である。

2) T_{p}S は線形空間になる（なぜか？）例えば、 0_{p} を p を始点とする零ベクトルとすると、 0_{p} ∈ T_{p}S である。実際、 ℓ(t) = p とすれば、\frac{∂ℓ}{∂t}(0) = 0 である。

3) 実は S は ℝ^{3} に含まれている必要はない。例えば問３の 6) を見よ。

問３．以下の曲面 S に関して、それぞれ適当な点 p をひとつずつ選び、その点での接平面と、上で定義した T_{p}S が一致することを確かめよ。

1) {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, z > 0}
2) {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} x^{2} + y^{2} = z, z > 0}
3) {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} x^{2} + y^{2} = z^{2} − 1, z > 0}
4) {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} z = x^{3} + y^{2}}
5) {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} z = x^{2}}
6) {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} z = 0}
7) {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} x = u + v, y = v, z = uv, (u, v) ∈ ℝ^{2}}

問４． F : ℝ^{3} → ℝ を滑らかな関数とする。 F の微分を DF で表すとき、 rankDF = 1 であれば集合 S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} F (x, y, z) = 0} は特異点の無い曲面になる。このとき、 S 上の点 p = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) における接平面は

\frac{∂F}{∂x} (p)(x − x_{0}) + \frac{∂F}{∂y} (p)(y − y_{0}) + \frac{∂F}{∂z} (p)(z − z_{0})

で表されたが、これと T_{p}S が一致することを示せ。

問５． f : ℝ → ℝ^{3} を

f(θ) = (10 cos mθ + cos mθ cos nθ, 10 sin mθ + sin mθ cos nθ, sin nθ)

Typeset by AMS-TEX

で定める。但し、 m と n は互いに素であるとする。 1) m = 2, n = 3 の時に f(ℝ) を図示せよ。

2) m = 2, n = 3 の時に f(0) = f(T), T > 0 なる最小の T を求めよ。 3) m = 2, n = 3 の時に全曲率を求めよ。 2’) 一般の場合に f(0) = f(T), T > 0 なる最小の T を求めよ。 3’) 一般の場合に全曲率を求めよ。