２００１年度幾何学Ａ演習（第５回） ’01/5/16 15:00〜16:30

問１． ℝ 上定義された関数 e^{x} を考える（x ∈ ℝ）。

1) ∀x ∈ ℝ, ∀ϵ > 0, ∃δ > 0 s.t. y ∈ ℝ, |x − y| < δ ⇒ |e^{x} − e^{y}| < ϵ を示せ。

2) ϵ = \frac{1}{2} とする。実数 x を一つ固定するごとに、 1) によりある正数 δ が存在し

て |x − y| < δ ⇒ |e^{x} − e^{y}| < ϵ = \frac{1}{2}

が成り立つが、このような δ の最大値を x を用いてあらわせ。

3) ∀ϵ > 0, ∃δ > 0 s.t. x, y ∈ ℝ, |x − y| < δ ⇒ |e^{x} − e^{y}| < ϵ が正しければ示し、正しくなければ根拠を述べよ。

問２．下に示す式で定義された曲面（曲面片）の各々について以下の作業を行え。

i) 図示し、グラフで表せ。即ち、 ℝ^{2} の適当な部分集合で定義された関数 f を用いて z = f(x, y) の形に表せ。但し、 ℝ^{3} の座標を (x, y, z) とする。

ii) （自分で選んだ）関数 f に関する第一基本形式を求めよ。 iii) 同様に、第二基本形式を求めよ。

1) x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1, z > 0

2) x^{2} + y^{2} = z, z > 0

3) x^{2} + y^{2} = z^{2} − 1, z > 0

問３． f(x, y, z) = x^{2} − y^{2} − z^{2} とし、 S = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} f(x, y, z) = 0} とする。 1) S の部分集合 {(x, y, z) ∈ S |x| < 10} を図示せよ。

2) \frac{∂f}{∂z} (x, y, z) = 0 なる (x, y, z) の集合を求め、図示せよ。

3) \frac{∂f}{∂z} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) ≠ 0 ならば陰関数定理により、 (x_{0}, y_{0}) の ℝ^{2} での近傍において定義された関数 φ で、 z_{0} = φ(x_{0}, y_{0}) かつ f(x, y, φ(x, y)) = 0 なるものが存在するが、これを具体的に求めよ。

4) g : ℝ^{2} → ℝ^{3} を g(u, v) = (u, u cos v, u sin v) で定める。 g による ℝ^{2} の像、すなわち集合 g(ℝ^{2}) は集合 S と一致することを示せ。

5) L = {(x, y, z) ∈ S y = 0} とする。 L を図示し、さらに集合 g^{−1}(L) を求め、これも図示せよ。

6) p を S 上の点とするとき、 g^{−1}(p) の様子を調べよ。

問４．次の命題を証明せよ。「a, b, c を実数とし、さらに a ≠ 0 とする。複素数 x に関する二次方程式 ax^{2}+bx+c = 0

は\frac{−b + \sqrt{b^{2} − 4ac}}{2a} および\frac{−b − \sqrt{b^{2} − 4ac}}{2a} を解に持ち、さらに解はこの二つのみで

ある。」

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