２００１年度幾何学Ａ演習（第４回） ’01/5/9 15:00〜16:30

問１．以下の ℝ^{3} 内の曲面をそれぞれ図示し、さらに曲面上での各点での接平面を求めよ。但し、 ℝ^{3} の座標を (x, y, z) とする。

1) x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 で定義される曲面。

2) x^{2} + y^{2} = z で定義される曲面。

3) x^{2} − y^{2} = 1 + z^{2} で定義される曲面。

4) x^{2} + y^{2} = z^{2} − 1 で定義される曲面。

5) ax + by + cz + d = 0 で定義される曲面。ただし a, b, c, d は実数で、 a, b, c の少なくとも一つは 0 ではないとする。

6) z = x^{2} − y^{2} で定義される曲面。

問２． x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1 で定義される ℝ^{3} 内の曲面 S を考える。点 (1, 0, 0) を p と呼ぶ事にすると p は S 上の点であるが、

1) ℓ : (−1, 1) → ℝ^{3} を ℝ^{3} 内の非特異な曲線で、 ℓ(0) = p なるものとする。更に、 −1 < t < 1 なる全ての t について、 ℓ(t) ∈ S と仮定する。この時、 ℓ の像 γ(= ℓ(−1, 1)) の p における接線を\frac{∂ℓ}{∂t} を用いてあらわせ（ℓ はベクトル値関数であることに注意せよ。具体的には ℓ は成分を３つ持つ）。

2) 上で求めた ℓ の接線は S の p における接平面に含まれる事を示せ。

3) p を S 上のほかの点に変えたときにも 2) が成り立つかどうか調べよ。すなわち、（新しい） p を通り、 S に含まれるような空間曲線 ℓ の p における接線が p における S の接平面に含まれるかどうか調べよ。

問３〜７．問２と同じことを問１の 2) から 6) までの曲線について行え。

問８．次の問いに答えよ。

1) v = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), w = (b_{1}, b_{2}, b_{3}) のときに、 v × w を a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2}, b_{3} を

用いて成分で表せ。ただし、 ℝ^{3} のベクトル v, w に対して、 v × w は i) v と w が張る平行四辺形の面積を長さとして、 ii) v と w の両方と直交し、 iii) (u, v, w) が負の向きにはならない、つまり u = (c_{1}, c_{2}, c_{3}) としたとき、

det ( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{matrix} ) ≥ 0

となるような唯一のベクトル u として定める（佐伯先生のプリントとは定義が異なることに注意せよ。結果的には同値な定義である）。

2) 任意の空間ベクトル v, w について、 w × v = −v × w を示せ。

3) 任意の空間ベクトル u, v, w, x に対して、

(u × v) · (w × x) = (u · w)(v · x) − (u · x)(v · w)

を示し、 |v × w|^{2} を、 v, w の内積と長さを使い、成分を用いずに表せ。

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問９． ℝ^{2} から ℝ^{3} への写像 f を f(u, v) = (u + v, uv, u^{2} + v^{2}) で定める。 1) f の微分を求めよ。

2) f の微分の階数が 1 以下になる (u, v) の集合を求め図示せよ。

3) グラフ (x, y, z) = f(u, v) を図示せよ。