２００１年度幾何学Ａ演習（第３回） ’01/4/25 15:00〜16:30

問１．以下の各曲線の頂点を求めよ。 1) (x, y) = (a cos t, b sin t), t ∈ ℝ で表される曲線 (a > 0, b > 0)。

2) y = x^{n} (x ∈ ℝ, n ∈ ℕ \ {0}) で表される曲線。

3) y = x^{3} − x^{2} + 2x − 8 (x ∈ ℝ) で表される曲線。

4) y = \frac{1}{x} (x > 0) で表される曲線。

5) y = \{ \begin{matrix}0 & x ≤ 0 \\ e^{− \frac{1}{x^{2}}} & x > 0 \end{matrix} で表される曲線。

6) y = e^{x} (x ∈ ℝ) で表される曲線。

問２．以下の ℝ^{2} 内の各閉曲線に適当に向きをつけて図示し、その向きに沿って一周したときの回転数を求めよ。

1) 原点を中心とする半径 1 の円周。

2) 原点を中心とする半径 10 の円周。

3) 以下のようにパラメータ表示される曲線：

(t, 0)  t ∈ [0, 1]
(1 + sin(t − 1), 1 − cos(t − 1))  t ∈ [1, \frac{3}{2}π + 1]
(0, −t + \frac{3}{2}π + 2)  t ∈ [\frac{3}{2}π + 1, \frac{3}{2}π + 3]
(−1 + cos(t − \frac{3}{2}π − 3), −1 − sin(t − \frac{3}{2}π − 3)) t ∈ [\frac{3}{2}π + 3, 3π + 3]
(t − 3π − 4, 0)  t ∈ [3π + 3, 3π + 4]

4) 以下のようにパラメータ表示される曲線：

\{ \begin{matrix}(t, 0) & t ∈ [0, 1] \\ (1 + sin(t − 1), 1 − cos(t − 1)) & t ∈ [1, \frac{3}{2}π + 1] \\ (0, −t + \frac{3}{2}π + 2) & t ∈ [\frac{3}{2}π + 1, \frac{3}{2}π + 2] \end{matrix}

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