２００１年度幾何学Ａ演習（第２回） ’01/4/18 15:00〜16:30 ’01/4/25 一部改訂

問１．以下の各曲線を適当にパラメータ表示した上で、以下の作業を行え。即ち、 i) 曲線の概形を描け。 ii) パラメータ（t とする）が t_{0} から t_{1} まで変化するときにそれに対応して得

られる曲線の長さを t で表せ。 iii) 弧長パラメータ表示に直せれば直せ。 iv) 各自で選んだパラメータ表示に関する曲線の速度ベクトルを求め、それが曲

線に接していることを確かめよ。また、曲線上の各点における速度ベクトルを反時計回りに９０°回転させたベクトルを式で表示し、これがその点での曲線の接線と直交していることを確かめよ。

v) 曲率と曲率半径を式で表し、曲率半径が極大になるところと極小になるところを（あれば）求めよ。さらに適当に曲線上の１点 p と、 p における法線上にあって、 p との距離が曲率半径になっている点 q を選び、 q を中心とする半径が曲率半径に等しい円を描け。

1) ℝ^{2} 内の原点中心の半径 1 の円（単位円という）。

2) ℝ^{2} 内の原点中心の半径 5 の円。

3) y = x^{2} (x ∈ [−5, 5]) で表される曲線。

4) y = x^{3} − x^{2} + x (x ∈ ℝ) で表される曲線。

5) y = \frac{1}{x} (x > 0) で表される曲線。

6) y = x^{n} (x > 0) で表される曲線。但し、 n は正の整数。

7) y = \{ \begin{matrix}0 & x < 0 \\ x^{n} & x ≥ 0 \end{matrix} で表される曲線。

8) y = \{ \begin{matrix}0 & x ≤ 0 \\ e^{− \frac{1}{x^{2}}} & x > 0 \end{matrix} で表される曲線。

9) y = |x| (x ∈ ℝ) で表される曲線。

10) 局座標で r = θ (θ > 0) と表される曲線。

11) y = log x (x > 0) で表される曲線。

12) y = e^{x} (x ∈ ℝ) で表される曲線。

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