２００１年度幾何学Ａ演習（第１回） ’01/4/11 15:00〜16:30

問１．次の主張を数学記号（∀, ∃ など）を用いて表せ。また、その主張が正しいかどうか述べよ（結果だけで良い）。

1) 全ての実数 x に対して x + y = 0 なる実数 y が唯一存在する。

2) ある整数 n に対して nm = 1 なる整数 m が存在する。

3) 全ての実数 x は x < 5 を満たす。

問２．関数 f : ℝ → ℝ が連続であることの定義を（一つ以上）述べよ。

問３．次の関数のグラフを描け。どうしてそのようなグラフになるかの根拠も述べよ。

1) y = x^{3} − 2x + 1

2) y = \{ \begin{matrix}\sqrt{x} & x ≥ 0 \\ \sqrt{−x} & x ≤ 0 \end{matrix}

3) y = \sqrt{x^{2}}

問４． t を実変数とするとき、以下の各々の場合について (x, y) = f(t) のグラフを描け。根拠も述べよ。

1) f(t) = (t^{2}, t)

2) f(t) = (cos^{2} t, sin t)

3) f(t) = (cosh t, sinh t)、ここで cosh t, sinh t はそれぞれ次の式で定義される：

cosh t = \frac{e^{t} + e^{−t}}{2} , sinh t = \frac{e^{t} − e^{−t}}{2} .

問５．次の積分を求めよ。

1) ∫_{−a}^{a} \sqrt{a^{2} − x^{2}}dx、但し a は正の実数。

2) ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{1 + a^{2}x^{2}} dx、但し a ≠ 0。

3) ∫_{−π}^{π} cos^{3} xdx

問６．問３、問４の各グラフに対し、そのグラフ上の各点における接線を（あれば）求めよ（1) 2) 3), 1’) 2’) 3’)）。

問７． 1) 2) 3): 問３の曲線を適当にパラメータ表示せよ（弧長パラメータである必要は無い）。 1’) 2’) 3’) ：問４の曲線を y = f(x) の形に表せ。 f の定義域も明示せよ。必要であれば場合分けして x = g(y) の形も用いよ。

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