２００１年度解析学Ｉ演習 ’01/5/14 15:00〜16:30

問１． A = \{1, −\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, −\frac{1}{4}, ⋯ \} = \{(−1)^{n} \frac{1}{n} | n ∈ ℤ, n > 0\} とする。

1) A の上界全体の集合及び下界全体の集合を求めよ。

2) A の上限及び下限を求めよ。もし存在すれば最大及び最小も求めよ。

問２． A = \{0, \frac{1}{2}, −\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, −\frac{4}{5}, ⋯ \} = \{(−1)^{n} (1 − \frac{1}{n}) | n ∈ ℤ, n > 0\} とする。

1) A の上界全体の集合及び下界全体の集合を求めよ。

2) A の上限及び下限を求めよ。もし存在すれば最大及び最小も求めよ。

3) 数列 \{a_{n}\}_{n∈ℤ,n>0} を a_{n} = (−1)^{n} (1 − \frac{1}{n}) で定める。このとき lim_{n→∞} a_{n} が存

在すればその値を求め、存在しなければその理由を述べよ。

問３． a_{n} = 1 + \frac{1}{n}, b_{n} = 2 + \frac{1}{n^{2}} (n ∈ ℤ, n > 0) とする。

1) lim_{n→∞} a_{n} 及び lim_{n→∞} b_{n} を定義に従って求めよ。

2) lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} が存在するかどうか調べ、存在する場合にはその値を求めよ。

3) lim_{n→∞} \frac{b_{n}}{a_{n}} が存在するかどうか調べ、存在する場合にはその値を求めよ。

問４． a_{n} = \frac{1}{n}, b_{n} = \frac{1}{n^{2}} (n ∈ ℤ, n > 0) とする。

1) lim_{n→∞} a_{n} 及び lim_{n→∞} b_{n} を定義に従って求めよ。

2) lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} が存在するかどうか調べ、存在する場合にはその値を求めよ。

3) lim_{n→∞} \frac{b_{n}}{a_{n}} が存在するかどうか調べ、存在する場合にはその値を求めよ。

問５． a_{n} = \frac{1}{n^{k}}, b_{n} = \frac{1}{n^{l}} (n ∈ ℤ, n > 0) とする。ここで、 k, l は整数とする。

1) lim_{n→∞} a_{n} が存在するための k の条件を求め、そのときの {a_{n}} の極限を求めよ。

2) lim_{n→∞} \frac{a_{n}}{b_{n}} が存在するための k, l の条件を求め、そのときの \{\frac{a_{n}}{b_{n}} \} の極限を求

めよ。

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