数学解析予定表

ルベーグ積分の知識があるのが望ましいが、以下の ∗ の項目は、ルベーグ積分を知っておくのがよい項目、 ∗∗ の項目は理解にルベーグ積分の知識が必要な項目です。

0. なぜ、関数解析が必要か?

1. 位相の復習距離空間, 開集合, 閉集合, 位相の強弱, コンパクト性, 完備性, etc.

2. ノルム空間

(1) ノルムの定義

(2) ^{∗} Hölder の不等式、 Minkowski の不等式

(3) ^{∗} l^{p}, L^{p}

(4) ノルム空間の位相

(5) 可分性

(6) Weierstrass の多項式近似定理 (確率論を用いた Bernstein の証明)

(7) Banach 空間の定義、例

(8) ノルム空間の完備化 (ℚ の完備化から ℝ を作ったように、完備でないノルム空間は適当に元を加えて完備な空間にできる。 C([0, 1] → ℝ) を L^{p} の位相でこの方法で完備化したものの具体的な表現が L^{p}(ℝ) だと言える)

3. ヒルベルト空間

(1) プレヒルベルト空間：定義と例

(2) ^{∗} ヒルベルト空間の定義, 例、 l^{2}, L^{2}

(3) 完全正規直交系 (=CONS) とその性質

(4) CONS, 例、 Fourier 級数、 Hermite 多項式固有関数の視点、対称行列の異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交すること。

(5) Parseval の等式、 Bessel の不等式

(6) CONS の存在

(7) 直交射影、凸集合の場合への拡張を注意 (8) 直交補空間

(9) ^{∗∗} 条件つき平均値、マルチンゲールの定義と直交射影との関連

5. 有界線形作用素

(1) 定義と性質

(2) 有界線形作用素全体が作用素ノルムで Banach 空間になること

(3) 有界線形作用素の例 (合成積による作用素、ハウスドルフ・ヤングの不等式^{∗}、マルコフ半群についての注意)

(4) Riesz の表現定理

(5) ^{∗∗} 共役空間 (双対空間) の定義と例 ((L^{p})^{∗} = L^{q} ただし、\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1, 1 ≤ p < ∞ 一般には (L^{∞})^{∗} ⊋ L^{1}).

(6) ^{∗∗} Radon-Nykodim の定理 (Riesz の表現定理の応用)

(7) Neumann 級数と積分方程式 (とくに Volterra 型について)

(8) 縮小写像の原理とその応用例

6. 非有界作用素

(1) 閉作用素、可閉作用素の定義、例

(2) 随伴作用素、自己共役作用素

(3) スペクトル集合、レゾルベント集合 (例、 Volterra 型積分作用素)

(4) コンパクト作用素の定義、スペクトルに対する注意

(5) ^{∗∗} 自己共役作用素のスペクトル分解の注意測度論の参考書は

1. 「ルベーグ積分」 (竹之内脩著, 培風館)

2. 「ルベーグ積分入門」 (伊藤清三著, 裳華房)

3. 「ルベーグ積分から確率論」 (志賀徳造著、共立出版)

4. 「確率論」 (伊藤雄二著、朝倉書店)

関数解析の参考書としてシラバスにあげた以外に

1. Functinal Analysis, Reed-Simon 著, Academic Press

2. 「ヒルベルト空間と量子力学」新井朝雄著, 共立出版

3. 「フーリエ解析と関数解析学」新井仁之著、培風館

が参考になる。 1,2 ともに量子力学を意識した内容の本である。 1 は Methods of Modern Mathematical Physics の 4 巻本の最初の 1 冊目で 2 冊目以後も面白い本です。 3 はフーリエ解析、ウエイブレットについても触れられている。やはり、ヒルベルト空間について書かれた本。