\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}

\nopagenumbers

\centerline{1998年度全学ゼミナールの講義内容}
\medskip
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟310号室 (電話 5465-7024)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\medskip

この講義は，教養課程の1, 2年生を対象にした自由選択のコースです．
毎週月曜日の16:20〜17:50に，数理科学研究棟の122号室で行います．
講義内容はNon-standard Analysis(超準解析)と呼ばれる理論です．

無限大$\times 0$はいくつだろうか．あるいは，無限大$-$無限大では?

こういうことを考えて見たことのある人は多いと思います．また，高校で
極限を習った時，何かごまかされているように思った人も少なくないこと
でしょう．たとえば，微分を計算する時に，「$h$は0でないから」と言って
分子と分母を$h$で割っておいて，あとから$h=0$としているように
見えます．またそもそも「限りなく近づく」とはどういうことでしょうか．
高校の教科書をよく見ると，行列や三角関数の話などはかなり厳密に書いてある
のに，微分積分になると「$\cdots$であることが知られている」と言って
逃げているようなところがかなりあることにも気づきます．

数学は論理に依存する学問ですから，このような「ごまかし」の上に
理論を築いていいはずがありません．このような極限に関連した理論
を厳密に扱う一つの方法が，1年生の
数学IAの講義で扱う$\varepsilon$-$\delta$論法です．しかしこれとは
別に，もっと直接的に，無限大，無限小，
極限などを厳密に扱う理論として，Non-standard Analysis(超準解析)
というものが
20世紀後半に成立しています．この理論のもとでは，無限大や無限小が
普通の実数と同じような数学的実体として捉えられます．
このゼミではこの理論について初歩から講義
します．この講義に対する
準備としては，数学IAの最初で教えるような厳密な実数論や，
$\varepsilon$-$\delta$論法
を理解していることと，抽象数学での論理的方法に対する「慣れ」を期待します．
したがって，普通の基準で言えば主に2年生(の数学的に優秀な人)
を対象にしていますが，
普通でない1年生は歓迎します．将来，数学またはそれに密接に関連した
理論科学の研究者になりたいという人を想定して講義します．

私の専門は無限次元行列の集まりのようなものを研究する，
作用素環論と言うものですが，この理論で1983年に
Fields賞を取ったAlain Connes
の理論では，Non-standard Analysisのアイディア，テクニックが重要な
役割を果たしています．直接その理論をここで講義することはできませんが，
そういうことにつながることをやって行きたいと思います．

参考文献は，齋藤正彦「超積と超準解析」(東京図書)ですが，別に
この本を持っている必要はありません．

\bye