\magnification=\magstep1
\documentstyle{amsppt}
\def\a{\alpha}
\def\be{\beta}
\def\ga{\gamma}
\def\e{\varepsilon}
\def\de{\delta}
\def\Q{\bold Q}
\def\R{\bold R}

\nopagenumbers

\centerline{1998年度理科II, III類1年生 数学IA演習・小テスト(7)解説}
\rightline{1998年6月5日・河東泰之}
\rightline{数理科学研究科棟310号室 (電話 5465-7024)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{homepage http://kyokan.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}
\bigskip

配点は[1]から順に$10\times 4$, $15\times 2$, 30点です．
平均点は44.6点，最高は100点(6人)でした．
今回は易しめにしたつもりなんですが，平均は
あまり変わりませんでした．

略解は次のとおりです．(実際の答案ではもっと説明が要ります．また，
[1] (1), (4) [2] (2)ではもちろん他にもたくさん例はあります．)

\bigskip
[1] (1) $\dsize \sum_{n=0}^\infty  \dfrac{z^n}{2^n}$.

(2) $\infty$.

(3) 1.

(4) $\dsize \sum_{n=0}^\infty  n^n z^n$.

\bigskip
[2] (1)
$$\align
1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{n^2}
&< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{n(n-1)}\\
&=1+\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)
+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)\\
&=2-\frac{1}{n} < 2\endalign$$
なので収束．

あるいは，$1+\dsize\int_1^n \frac{1}{x^2}\;dx$と比べると言うのも有名です．
積分は授業ではまだやっていませんが，これもO.K.
にしてあります．

(2) $\dsize \sum_{n=1}^\infty  \frac{z^n}{n^2}$.

これは(1)が露骨な誘導ですね．もちろん他にも答はありますが．
 
\bigskip
[3] $p(n)=0$となる$n$は有限個しかないから，$p(n)\neq 0$となる
項についてだけ考えればよい．
$\dsize\lim_{n\to\infty}\dfrac{|p(n)|}{|p(n+1)|}=1$
であるので，5月26日の授業でやったことより
$|z| < 1$で収束，$|z| > 1$で発散がわかる．
よって，収束半径は1．

もちろん，Cauchy-Hadamardでもできますが，上のようにした方が
簡単です．

\bye