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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{2008年度数学I演習小テスト(4)}
\medskip
\rightline{2008年6月5日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは，ノート，本，コピーなどすべて持ち込み可で行います．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

$\boxed{\text{氏名と学生証番号を答案の一番上に書いてください．}}$

\bigskip [1] $f(x)$ を $x$ の多項式とする．
$f(x)$ を Taylor 展開して得られる
無限級数 $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ を求めよ．

\bigskip [2] $x \in (-1,1)$ と自然数 $n$ に対し，
$$f_n(x)=\log(1+x)-x+\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+
\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^n\frac{x^n}{n}$$
とおく．

(1) $f'_n(x)$ を計算することにより，$f_n(x)$ を積分を用いて表せ．

(2) 各 $x$ について，$n\to\infty$ のとき，$f_n(x)\to 0$ となる
ことを示せ．

\bigskip [3] (1) $f(x)=\arctan x$ を Taylor 展開して得られる
無限級数 $\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ を求めよ．

(2) $-1 < x < 1$ のとき，(1)で求めた無限級数が収束して
$f(x)$ に等しくなることを示せ．(ヒント：[2] の論法を使う．)

\bigskip [4] 2の3乗根の値を小数点以下第3位まで求めよ．
(小数点以下第4位以下を切り捨てると言うことである．)
きちんと誤差を評価して
本当にその値が正しいことの根拠をきちんと示すこと．
(ヒント: $(5/4)^3$ が2に近い．)

\bye