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\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{2008年度数学I演習小テスト(3)解説}
\medskip
\rightline{2008年6月2日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は[1] 20点，[2] 10点， [3] 20点，[4] 10点$\times 3$，[5] 20点です．
最高点は100点(18人)，平均点は72.3点でした．

\bigskip [1] 定義を書き換えて
$$b_n=\frac{((2n+2)!!)^2}{4(n+1)((2n+1)!!)^2}$$ としたあと
Wallis の公式を使うと $\pi/4$ を得ます．

\bigskip [2] 普通に不定積分から求めて，極限を考えればできます．答えは
$\alpha > 1$です．

\bigskip [3] $e$ の肩を書き換えて
$$ax^2+bx+c=-(\sqrt{-a}x+\frac{-b}{2\sqrt{-a}})^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$$
と書いて，右辺第1項から生じる積分については
$\dsize\sqrt{-a}x+\frac{-b}{2\sqrt{-a}}=t$という置換を行います．
これより答えは $\sqrt{-\pi/a} e^{(4ac-b^2)/4a}$ です．

\bigskip [4] いずれもロピタルの定理で普通にできます．
答えは，(1) $1/3$, (2) $1/6$, (3) $1/4$ です．

\bigskip [5]
$x^4$ をかけることにより，
$\dsize\lim_{x\to 0}(e^x-a-bx-cx^2-dx^3)=0$ でなくてはなりません．
これより，$a=1$です．次に，$x^3$ をかけることにより，
$\dsize\lim_{x\to 0}\frac{e^x-a-bx-cx^2-dx^3}{x}=0$ でなくてはいけません．
これより，$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=b$ となり，$b=1$ がわかります．
以下同様に続けて，$c=1/2$, $d=1/6$ となります．また，$a,b,c,d$ が
これらの値を取るとき，問題の極限は存在して $1/24$ となります．

\bye