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\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{2008年度数学I演習小テスト(3)}
\medskip
\rightline{2008年5月22日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは，ノート，本，コピーなどすべて持ち込み可で行います．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

$\boxed{\text{氏名と学生証番号を答案の一番上に書いてください．}}$

\bigskip [1] 1以上の整数 $n$ について，$a_n=1-\dfrac{1}{n^2}$ とおき，
$b_n=a_3 a_5 a_7\cdots a_{2n+1}$ とおく．
$\dsize\lim_{n\to\infty} b_n$ を求めよ．

\bigskip [2] $\alpha>0$ とする．$\dsize\int_1^\infty \frac{1}{x^\alpha}\;dx$ 
が有限の値を持つのはどのようなときか．

\bigskip [3] $\dsize\int_{-\infty}^\infty e^{ax^2+bx+c}\;dx$ を
求めよ．ただし，$a,b,c$ は実数で $a < 0$ とする．

\bigskip [4] 次のそれぞれの極限値を求めよ．

(1) $\dsize\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+x)-x+x^2/2}{x^3}$.

(2) $\dsize\lim_{x\to 0}\frac{x^2-\sin x^2}{x^6}$.

(3) $\dsize\lim_{x\to 1}\frac{6e^{x-1}-(x^3+3x+2)}{(x-1)^4}$.

\bigskip [5] 
$\dsize\lim_{x\to 0}\frac{e^x-a-bx-cx^2-dx^3}{x^4}$ が存在するような
実数 $a,b,c,d$ を求めよ．

\bye