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\define\R{\bold R}
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\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{2008年度数学I演習小テスト(2)解説}
\medskip
\rightline{2008年5月8日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

配点は各小問10点ずつです．
最高点は100点(3人)，平均点は69.2点でした．
以下簡単に解説します．(これは「模範解答」ではありません．必要なものについて
は授業中にもっと詳しく解説します．)

\bigskip
[1] (1) ある正の実数 $x,y$ に対し，$(x+y)/2 < \sqrt{xy}$ が成り立つ．

(2) 3以上の自然数 $n$ と，自然数 $x,y,z$ で
$x^n+y^n=z^n$ を満たすものが存在する．

(3) ある有理数 $p,q$ であって，$p\neq q$ であるが，どのような有理数
$r$ についても $p < r < q$ とならないようなものが存在する．

元の命題の真偽は聞いていませんが，(1)が真，(2)は自然数を1以上と
して真，(3)は偽です．

\bigskip
[2] (1) 正しい．$x$ は正なので $y=\log x$ とおけばよい．

(2) 正しい．十分大きい $x$ と十分小さい $x$ で，
$x^3+ax^2+bx+c$ の符号が違うので中間値の定理が使える．

(3) 正しい．たとえば $c=|a|+|b|$ とおけばよい．

\bigskip
[3] (1) いくらでも例はありますが，たとえば $A=\bold R$ とすればO.K.です．

(2) $a$ が上界ならば，$a+1$ も上界なので，そのようなことはありません．

(3) $\forall x\in A$ の部分が常に不成立なのでどのような実数 $a$ も
すべて上界の条件を満たしています．

\bigskip [4] このようなものは高校まではどこでもきちんと定義されていない，
ということを認識してほしいということで，出したものです．
「2を$\sqrt2$回かけたもの」というのは定義とはいえません．
「$\log_2 x=\sqrt{2}$ となるような$x$のこと」というのは先に
$\log_2 x$ が定義されていなくては意味がありません．
$p,q$ が自然数のときは，$2^{q/p}$ は 「$2^q$ の$p$乗根」として定義されて
いるので，$\sqrt2=1.4142\cdots$ と書いて
「$2^1,2^{1.4},2^{1.41},2^{1.414},2^{1.4142},\cdots$ の極限」というのが
一応正しい答えですが，なぜこの極限が存在するのか，また，
$\sqrt2$ に近づくほかの有理数列をとっても同じものに収束するのか，は
高校まででは示されていません．

\bye