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\NoBlackBoxes
\nopagenumbers
\define\R{\bold R}
\define\Q{\bold Q}
\define\Z{\bold Z}
\define\e{\varepsilon}
\def\lan{\langle}
\def\ran{\rangle}

\centerline{2008年度数学I演習小テスト(2)}
\medskip
\rightline{2008年4月21日}
\rightline{河東泰之(かわひがしやすゆき)}
\rightline{数理科学研究科棟323号室(電話 5465-7078)}
\rightline{e-mail yasuyuki\@ms.u-tokyo.ac.jp}
\rightline{{\tt https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/\~{}yasuyuki/}}
\bigskip

このテストは，ノート，本，コピーなどすべて持ち込み可で行います．
途中の計算，説明などをきちんと書いてください．
答案用紙は1枚両面です．それに収まるように書いてください．

\bigskip
[1] 次のそれぞれの命題について，否定した命題を書け．$\forall, \exists$ など
の記号を用いず，日本語で書け．二重の意味に取れるような文章を書かないよう
注意すること．

(1) すべての正の実数 $x,y$ に対し，$(x+y)/2\ge\sqrt{xy}$ が成り立つ．

(2) 3以上の任意の自然数 $n$ について，自然数 $x,y,z$ で
$x^n+y^n=z^n$ を満たすものは存在しない．

(3) 任意の有理数 $p,q$ に対し，$p\neq q$ ならば，
$p < r < q$ となる有理数 $r$ が存在する．

\bigskip
[2] 次のそれぞれの命題について，正しいかどうかを理由をつけて答えよ．
ただし，$\bold R$ は実数全体の集合を表す．

(1) $\forall x\in{\bold R}\; (x>0\Rightarrow \exists y\in{\bold R}\;
x=e^y).$

(2) $\forall a\in{\bold R}\;\forall b\in{\bold R}\;\forall c\in{\bold R}\;
\exists x\in{\bold R}\; x^3+ax^2+bx+c=0.$

(3) $\forall a\in{\bold R}\; \forall b\in{\bold R}\;
\exists c\in{\bold R}\; \forall x\in{\bold R}\; |a\sin x+b\cos x|\le c.$

\bigskip
[3] 実数の集合 $A$ に対し，ある実数 $a$ が存在して，
任意の $x\in A$ に対して $x\le a$が成り立つとき，$a$ は $A$ の
上界であるという．

(1) 上界が一つも存在しないような集合 $A$ の例をあげよ．

(2) 上界がちょうど一つだけ存在するような集合 $A$ は存在するか．
理由をつけて答えよ．

(3) $A$ が空集合であるとき，$A$ の上界となりうる実数 $a$ をすべて
求めよ．

\bigskip [4] $2^{\sqrt{2}}$ はどのように定義されたものか．説明せよ．

\bye